По двум окружностям равных диаметров равномерно вращаются две точки. Одна из них выполняет полный оборот на 2,5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать за 1 мин на 4 оборота больше. Сколько оборотов в минуту делает каждая точка?

Ответ:

\[Пусть\ x\ \frac{км}{ч}\ и\ y\ \frac{км}{ч} -\]

\[скорости\ автомобилей,\ \]

\[а\ через\ t\ ч\ они\ встретились.\]

\[1\ ч\ 30\ мин = \frac{3}{2}\ ч;\ \ \]

\[2\ ч\ 40\ мин = 2\frac{2}{3}\ ч = \frac{8}{3}\ ч.\]

\[Составим\ систему\ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} tx + ty = 280 \\ tx = \frac{8}{3}\text{y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} tx + ty = 280 \\ \frac{\text{tx}}{\text{ty}} = \frac{8 \cdot 2y}{3 \cdot 3x}\text{\ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\frac{x}{y} = \frac{16y}{9x}\]

\[9x^{2} = 16y^{2}\]

\[3x = 4y\ \ \]

\[x = \frac{4y}{3} \Longrightarrow x > 0;\ \ y > 0.\]

\[\frac{4}{3}ty + ty = 280\]

\[\frac{7}{3}ty = 280\ \ \]

\[ty = 120\ \ \]

\[tx = 280 - 120 = 160.\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{8}{3}y = 160 \\ \frac{3}{2}x = 120 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} y = 60 \\ x = 80 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[t = \frac{280}{60 + 80} = \frac{280}{140} =\]

\[= 2\ (часа) - встретились\ \]

\[автомобили.\]

\[80\ \frac{км}{ч}\ и\ 60\ \frac{км}{ч} - скорости\ \]

\[автомобилей.\]

\[Ответ:80\ \frac{км}{ч};60\ \frac{км}{ч};\]

\[через\ 2\ часа.\]