Что такое многочлен - его виды и свойства

Одной из ключевых тем в математике, а также в алгебре считается многочлен. Она необходима для изучения математических зависимостей, для грамотного решения уравнений, неравенств. Практическое использование умений и навыков проводить действия с многочленами выходит далеко за пределы школьной и даже институтской математической программы. Эти знания необходимы и применяются:

• в инженерии;
• в экономике;
• в физике и других отраслях науки и хозяйственной деятельности.

Математически под многочленом понимается сумма нескольких одночленов, каждый из которых состоит из возведенной в натуральную степень переменной, помноженной на коэффициент-число. С помощью такого выражения можно описать любые как простые линейные, так и сложные нелинейные зависимости.

Работа с этими понятиями позволяет понять принцип работы функции, развивает логическое и аналитическое мышление, имеет существенную практическую значимость. Как пример - применяется для создания моделей, описания движения объектов, анализа расходов, доходов, при расчете траекторий и т. д. В ходе рассмотрения темы изучаются многочлен стандартного вида и других, основные операции и действия с ним.

Многочлен что такое, какие содержит части, каких видов бывает

Поясняя, что такое многочлен простыми словами, можно сказать, что это особый вид математического выражения. Оно состоит из суммы (разности) нескольких одночленов. В свою очередь, одночлен состоит из одного значения (члена), который включает в себя возведенную в натуральную степень переменную и коэффициент-число.

Приведенный для того, чтобы охарактеризовать что такое многочлен пример позволит сделать анализ математического выражения: 2х2+4х-6. В нем первым одночленом является 2х2, где степень равна 2, коэффициент тоже равен 2. Вторым – 4х, в нем коэффициент = 4, а степень 1. Третий одночлен – (-5), он называется постоянным членом со степенью ноль.

Как видно из примера, его основными частями являются:

1. Переменная х. Она может принимать различные числовые значения.
2. Степень показывает, в какую степень эта переменная многочлена возводится.
3. Коэффициент, то есть число, на которое умножена переменная многочлена.
4. Свободный член, то есть число-коэффициент, не содержащий переменную.
5. Значение многочлена представляет собой числовой результат, который получается при подстановке вместо Х конкретного числового значения.

Многочлен может быть представлен в различных видах. Для понимания, что такое многочлен в алгебре, можно рассмотреть такие его виды, как одночлен (имеет вид axn), двучлен (является суммой/разностью двух одночленов, трехчлен, соответственно, сумма/разность трех одночленов и т. д. Кроме того, имеется различие многочленов по признаку степени. Например, они могут быть нулевой степени, это просто числа (1, 2, 3 и т. д.); первой степени, представляющие по записи линейную функцию вида ax+b, второй степени, имеющие вид левой части квадратного уравнения, которые носят название квадратичных выражений. И многочлены высших степеней, которые содержат переменные в кубе, четвертой, пятой степени и т. д.

Что такое многочлен стандартного вида, какие действия с ним можно выполнять

Запись многочлена в стандартном виде подразумевает, что входящие в него члены записаны в порядке убывания их степеней. Такое отображение позволяет не только быстро и легко определить степень выражения, но и сразу увидеть его структуру и старший коэффициент. Кроме того, это облегчает и ускоряет процесс выполнения математических операций с многочленами – разложение их на множители, приведение подобных, вычитание, сложение.

К базовым операциям с многочленами, позволяющим выполнять их преобразование, решать связанные с ними уравнения, относят 4 стандартных математических действия – вычитание, деление, сложение и умножение. Для того, чтобы сложить или вычесть многочлены, надо найти подобные, элементы с переменной в одной степени. С ними можно производить вычисления, как с обычными числами. В процессе умножения применяется распределительный закон, который обязывает умножать каждый член многочлена на член другого многочлена. Для упрощения процессов существуют специальные формулы сокращенного умножения. Деление осуществляется в столбик, соблюдая установленную последовательность: старший член многочлена делится на старший член делителя и т. д.

С помощью разложения на множители выражение-многочлен преобразуется в более простые выражения. Методика применяется для упрощения уравнений, сокращения дробей и т. д. Технически процесс схож с разложением числа на простые множители, но в данном случае работа проводится с алгебраическими выражениями. Также для упрощения таких выражений применяют приведение подобных – то есть складывают или вычитают их коэффициенты.