Что такое рациональные числа и их свойства

Если перевести слово «рациональный», «рациональность» с латыни, то получится рассуждение, расчет, нумерация и даже разум. Вот такой многозначный термин, который позволит лучше понять, что такое рациональные числа в их современном понимании, опираясь на исторический, первоначальный смысл терминологии. Согласно сложившимся понятиям в математике, рациональное число – это такое, которое можно представить в форме дроби a\b, в которой a и b представлены целыми числами, причем b не равно нулю. Таким образом, это обыкновенная дробь, положительная либо отрицательная или число нуль. Из этого определения вытекает еще одно – если можно получить результат, разделив одно целое число на другое, то в ответе получится рациональное число. Эту терминологию и связанные с ней определения и правила вводят в курс математики за 6 класс, тогда же начинают рассматривать стандартные примеры таких чисел. К ним будут относиться:

десятичные дроби без целой части, например, 0.16, которую можно представить как 16/100;
десятичные дроби, содержащие в своем составе целую часть, например, 3.5, которая может быть записана как 3 5/10 = 3 ½;
любое целое число, например, 3 в записи 3/1;
число нуль, которое как рациональное имеет запись 0/1;
единица, соответственно, записанная как 1/1;
любая периодическая бесконечная дробь, например, 0.67777, что записывается как 2/3;
соответственно отрицательные десятичные дроби, например, -4.8, что можно выразить как -4 8/10 = -4 4/5.

Таким образом, внимательно изучив все приведенные выше примеры, можно ответить на вопрос, что такое рациональные числа? Кроме того, вдумчивое рассмотрение позволяет понять не только, что такое рациональные числа примеры, но и наглядно показывает, как можно преобразовать в них все возможные числовые выражения.

Что такое рациональные числа и какие у них свойства

Более точно усвоить, что такое рациональные числа в математике позволит изучение их основных математических свойств, а также понимание, каким законам они подчиняются. К действиям с такими числами относят:

Сочетательный математический закон сложения. Он гласит, что суммы (a + b) +c = a + (b + c).
Переместительное свойство сложения чисел, которое заключается в том, что от перемены мест слагаемых, итог сложения, то есть сумма, не изменится.
При сложении с рациональным числом нейтрального элемента математики, каким является ноль (0), само рациональное число останется без изменения.
Каждое рациональное число обладает противоположным числом, равным ему по значению, но имеющим другой знак. При этом, по законам математики, сложение этих двух рациональных чисел в результате даст нуль: a + (-a) = 0.
Аналогичные сложению законы умножения – это переместительное свойство этого действия, которое гласит, что от перемены мест множителей итог умножения (произведение) не изменится. И сочетательное свойство умножения, которое, соответственно, выражается следующим тождеством, записанном в буквенном формате: (a * b) * c = a * (b * c).
Также к свойствам умножения рациональных чисел следует отнести неизменность ответа произведения такого числа и единицы. В результате оно всегда будет давать само это рациональное число.
Наличие обратного числа у каждого, отличного от ноля, рационального. Оно, в свою очередь, даст в произведении с таким числом единицу, что может быть выражено так посредством формульной записи: a * a−1 = 1
Еще одно важное свойство, позволяющее упрощать и оптимизировать расчеты – распределительный закон умножения таких чисел относительно их сложения. В буквенном формате его можно выразить следующим образом: a * (b + c) = a * b + a * c.

Это далеко не все знания, которые получают шестиклассники при изучении рациональных чисел. Есть и другие свойства, знание которых позволяет решать множество типов математических задач.

Что такое рациональные числа 6 класс: их прочие свойства и законы

Помимо перечисленных выше, шестиклассники на уроках математики разбирают правило умножения рациональных чисел, обладающих разными знаками. Здесь важно накрепко запомнить фразу, которая является актуальной не только в математике, но и практически в каждой науке, дисциплине, где используются расчеты: плюс на минус — это минус и минус на плюс — это минус. Противоположной ей и далее раскрывающий математический смысл будет правило умножения рациональных отрицательных чисел, которое гласит, что минус на минус – есть плюс. Еще одно свойство – умножение на нуль. Оно заключается в том, что при умножении на 0 в результате получается ноль.

Все множество, к которому принадлежат рациональные числа, в математике обозначается буквой Q. С рациональными числами проводят все существующие математические действия: умножение, сложение, возведение в степень и т. д.