Как найти длину вектора: методы и способы

В математике и физике векторные величины – одни из базовых, основных. Само понятие вектора означает имеющий начало и конец направленный отрезок. Для того, чтобы воображение легко и наглядно нарисовало представление вектора ab, надо вспомнить карту или чертеж, а на них – указывающую путь стрелку. Расстояние между пунктом отправления и пунктом прибытия будет длиной вектора, а указывающая направление движения стрелочка – направлением вектора, соответственно. Обозначаться эта величина может различными способами:

двумя заглавными буквами со стрелкой над ними;
одной строчной буквой;
двумя строчными и т. д.

Если выбран первый способ, то первая буква – это точка его начала, а вторая, соответственно, конца. Также существует нулевой вектор, который обозначается математическим знаком нуль (0), и имеет стрелку наверху. Его длина, в данном случае, равно нулю, поскольку начало и конец совпадают.

Векторная длина имеет другое название – модуль. Как видно из этого определения, это значение не может быть отрицательным, независимо от направления. Поиск векторной длины – непростая задача. Существует несколько методик, в зависимости от наличия исходных данных и удобства вычисления, можно решать ее по координатам на декартовой плоскости или прямой. Или, зная координаты точек в пространстве – через три точки для объемных фигур. Подробнее о том, как и когда лучше воспользоваться каждым из способов, можно узнать, изучая фото гдз, составленное на основе ИИ, с привлечением современных технологий. Постепенно вникая в суть информации портала, можно научиться быстро и точно выполнять задания на нахождение векторных длин и не только эти, но и многие другие.

Как найти длину вектора формула и цели расчетов

Вначале надо разобраться, для чего необходимо рассчитывать эту величину. Хотя причин бесчисленное множество, основными из них признаются следующие:

Для того, чтобы определить векторное равенство либо неравенство. То есть, чтобы сравнить показатели, их значения. Сонаправленные векторы с равными длинами тоже называются равными.
После нахождения модуля можно высчитать и другие величины.
Для формульных вычислений. Так, в физике сила – это имеющая направление величина, то есть, векторная. Зная ее модуль, подставив в формулу, можно найти ускорение, массу тела и множество других значений.
В геометрии на основании этих данных можно определить скалярное произведение, угол между векторами и другие значимые показатели.

Для фигур на плоскости задача, как найти длину вектора зная его координаты, решается на основании 2-х точек. Для этого надо поместить искомую величину в прямоугольную систему координат. Обозначив длины векторов-отрезков, лежащих непосредственно на осях х и у через эти величины соответственно: |АВ1| = у, |АА1| = х и опираясь на теорему Пифагора, можно получить такую формулу: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)^2). Затем, подставляя в нее цифровые значения точек координатной прямой, можно найти модуль в числовом измерении. Не всегда вопрос, как найти длину вектора по координатам двух точек, имеет решение. Иногда требуются дополнительные данные или иной способ вычисления. Тогда на помощь придет теорема косинусов, которая гласит, что квадрат искомой стороны треугольника = сумме квадратов его двух других сторон, за вычетом удвоенного произведения этих сторон и косинуса лежащего между ними угла. Представив стороны треугольника в виде векторов, можно найти их модули, опираясь на приведенную выше теорему, подставляя в нее нужные числовые значения и вычисляя результат.

Однако векторы существуют не только на плоскости. Для объемных фигур нахождение их модуля не менее важно и необходимо. В таких случаях применяют иные способы и технологии расчетов.

Как найти длину вектора по координатам трех точек: порядок вычисления

Для фигур в пространстве зачастую можно применять те же правила, но уточненные, видоизмененные в соответствии с их особенностями и запросами. Поэтому, чтобы понять, как найти длину вектора по 3 координатам, можно воспользоваться аналогичной предыдущим разборам ситуацией, применив теорему Пифагора. Допустим, векторная величина, модуль которой требуется отыскать, задана в пространстве точками: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) и C(x₃, y₃, z₃). Подставляя их значение в уже известную ранее при аналогичных вычислениях на плоскости формулу Пифагора, можно получить следующее формульное равенство: L = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²). В данном контексте каждая его часть, заключенная в скобки, будет представлять собой разницу между координатами точек. Найдя их квадрат и выполним сложение, надо извлечь из полученного числа корень, который и станет искомым модулем или векторной длиной, которую надо найти.