Как найти площадь треугольника: общие и частные случаи

В природе треугольник не является самой популярной фигурой. Так же, как и в обыденной жизни людей. Но в профессиональном мире, экономике, творчестве все совсем наоборот. В частности, треугольник востребован у архитекторов, дизайнеров одежды и модельеров, ювелиров. А раз актуальна сама геометрическая фигура, важно твердо знать, как рассчитать значение ее площади. Например, через площадь можно определить, какой объем строительных материалов понадобится в процессе ремонта, возведения здания и т. д. Согласно математическим понятиям, площадь треугольника – это такая расчетная величина, которая характеризует величину его поверхности. Если воспользоваться методом наложения, то площадью будет та плоскость, которая окажется внутри замкнутой ломаной, звеньями которой являются стороны треугольника. Формул для вычисления этой величины множество. Некоторые из них общеизвестны и популярны, другие пользуются только в определенных случаях, в том числе – профессионально. Вычислить значения площади треугольника несложно:

• зная катет и гипотенузу фигуры;
• через две стороны и угол;
• через стороны и описанную окружность;
• на векторах и другие.

Наиболее популярной, классической расчетной формулой считается та, которая опирается на основание и высоту.

Как найти площадь треугольника формула классическая и другие популярные

Стандартный вид общеизвестной, популярной формулы расчета данной величины будет выглядеть так: S = (a * h) / 2, где a - основание, h - высота. Например, если высота, проведенная к основанию равна 6 см, а основание 4, то площадь будет равна 12 см. кв. соответственно.

Из этой общей формулы, справедливой для любых треугольников, можно вывести отдельные формулы, которые будут актуальны для фигур того или иного типа. Например, для прямоугольного она будет выглядеть так: S=0,5⋅a⋅b, где a и b, соответственно, катеты этого треугольника. Рассуждая, как найти площадь равнобедренного треугольника, можно прибегнуть как к классической, приведенной к этому условию, способу: 1/2 * AC * h, где AC — основание, h — высота, так и воспользоваться другими. Например, через половину квадрата боковой стороны и синус угла между этими сторонами. Или – как произведение одной четвертой квадрата основания этого треугольника и тангенса одной второй угла, образованного боковыми сторонами фигуры. При решении задачи, как найти площадь треугольника без высоты, можно прибегнуть к другим неклассическим расчетам. Например, через радиус вписанной окружности.

К другим частным случаям относят расчеты площади равносторонних треугольников, то есть таких, у которых все стороны имеют равную длину. Для них справедливы методики:

1. Разновидность классической или через высоту фигуры: S = h² / √3, где h — высота треугольника.
2. Без высоты, через сторону такого треугольника, которая в данной формуле выражена буквой a: S = (√3 * a²) / 4.
3. Через радиус вписанной в треугольник окружности: S = 3√3 * R², где S — площадь треугольника, R — радиус вписанной в данный треугольник окружности.
4. Другие, менее популярные.

Как найти площадь треугольника, если известны все стороны – формула Герона

Нередко в рамках математических вычислений по нахождению площади треугольников, если известны все стороны, применяют формулу Герона.

Ответом на вопрос, как найти площадь треугольника, зная все стороны, будет такое математическое рассуждение. Результат (площадь фигуры) будет равен корню из произведения четырех множителей. Первый из них – полупериметр исходного треугольника, который легко найти, сложив длины сторон (они известны по условию). Второй, третий и четвертый множитель соответственно представляют собой разность этого полупериметра и каждой из сторон треугольника поочередно. Формулой можно записать данное рассуждение так: S=√p(p-a)(p-b)(p-c), где p=½(a+b+c) — полупериметр треугольника; a, b, c — его стороны. Это выражение и называется формулой Герона.

Её удобно применять, когда стороны выражены целыми числами. Если же они представлены, например, сложными корнями, то, чтобы не сделать ошибки в вычислениях, лучше найти косинус одного из углов треугольника по теореме косинусов, затем найти на его основе синус этого угла и после посчитать по приведенной выше общей формуле площади через синус.

Для того, чтобы отыскать значение на векторных величинах, нужно рассчитать одну вторую от модуля векторного произведения тех векторов, на которых построен треугольник. Проверку правильности расчетов, произведенных по любому из перечисленных выше способов, можно сделать, воспользовавшись специальным онлайн-калькулятором. Нередко в основе их расчетов также лежит векторная методика. С ее помощью анализируются введенные данные, рассчитываются векторы по координатам точек, вычисляется произведение и модуль, делается расчет и получается ответ.