Как найти высоту треугольника - общие и частные случаи

Под треугольником в геометрии понимается плоскостная фигура, относящаяся к классу простых. Она состоит из трех точек, которые лежат не на одной прямой и отрезков, соединяющих эти точки. В зависимости от свойств углов и сторон треугольники бывают различных типов. По углам – остроугольными, прямоугольными, тупоугольными. По сторонам – равнобедренными, равносторонними, разносторонними.

Высота – один из важнейших элементов треугольника. Она представляет собой перпендикуляр, который опущен из вершины на противоположную сторону фигуры или на прямую, содержащую эту сторону. Поскольку вершин у треугольника три, то и высот будет 3. Чтобы определить высоту графически, потребуется:

найти вершину треугольника;
к противоположной стороне опустить из этой вершины вниз перпендикуляр;
если требуется, продлить противоположную сторону до пересечения перпендикуляра с прямой, ее содержащей.

Чтобы рассчитать длину высоты математически, существует не одна формула, позволяющая выполнить данные вычисления. Это можно сделать, например, зная периметр фигуры, его площадь, зная его стороны, градусную меру углов, координаты вершин в декартовой системе и т. д. В частных случаях (для равносторонних, прямоугольных треугольников и пр.) можно опираться на свойства фигуры, характерные для этих случаев. Например, в равностороннем можно рассчитать величину высоты, зная стороны и то, высота в нем равна медиане и биссектрисе, в прямоугольном – через катеты и теорему Пифагора и т. п.

Как найти высоту треугольника по площади, длине стороны, синусу угла

К наиболее распространенным формулам, справедливым в отношении любых треугольников, относятся нахождение параметра через формулу: h = 2S/a, где S — известная площадь треугольника, а, соответственно, его сторона. То есть, в исходных данных должны присутствовать площадь фигуры и длина той стороны, к которой проведена высота. Например, площадь составляет 20 кв. см, а длина стороны, противолежащей вершине, из которой опущен перпендикуляр-высота – 8 см. В этом случае высота будет равна 2*20/8 = 5 см.

Другим известным способом нахождения высоты треугольника является расчет через длины всех его сторон. Он описывается формулой: h = 2/a √p(p-a)(p-b)(p-c), в которой h — длина высоты треугольника, p - его полупериметр, a — длина стороны, на которую падает высота; b и c, соответственно, длины двух других сторон треугольника. Также найти высоту в треугольнике можно, когда известны угол и сторона, к которому он прилежит. Расчет выглядит так: h = a ∙ sinγ, где a — сторона, γ, соответственно, угол прилежащей стороны. Если вокруг треугольника описана окружность, то найти высоту фигуры можно по такому алгоритму: h = b ∙ c / R, в котором b, c — стороны разностороннего треугольника, к которым не опущена высота, R — радиус описанной вокруг фигуры окружности. Помимо общих случаев, есть частные, для которых составлены и применяются упрощенные формулы.

Как найти высоту равнобедренного треугольника, равностороннего, прямоугольного

У равнобедренного, как понятно из определения, равные боковые стороны. Соответственно, высоту можно находить по формуле Пифагора. По ней высота равняется квадратному корню из суммы ¼ квадрата основания и квадрата боковой стороны. Для равностороннего треугольника высота рассчитывается как частное от произведения длины стороны и корня квадратного из трех на 2.

Чтобы определить, как найти высоту прямоугольного треугольника, надо воспользоваться теоремой Пифагора. Исходя из ее свойств, можно вывести такое равенство: высота равна частному от произведения катетов и гипотенузы.

Для определения, как найти высоту остроугольного треугольника, можно воспользоваться одной из методик, представленных как общие формулы или использовать теорему Пифагора для случая расчета через боковую сторону и часть стороны, отсекаемую высотой.

Определяя, как найти высоту треугольника по координатам, можно опираться на:

Формулу по исчислению расстояния между точками в декартовой системе координат. s = ((x2 - x1)^{2+(y2-y1)^{2)^1/2,}} где (x1,y1) и (x2, y2) — это координаты начала и конца отрезка, который составляет сторону. Затем находится длина стороны и подставляется в стандартную формулу высоты.
Другой способ – нахождение координат векторов вершин, которые образуют концы отрезков каждой из сторон треугольника. После этого можно посчитать длину этих векторов по формуле: |AB|=корень из суммы квадратов соответствующих координат каждого вектора.

Можно воспользоваться современными технологиями, например, применив онлайн-калькуляторы. Так, для расчетов по координатам нужно будет выбрать форму представления фигуры «по координатам точек», затем занести в форму координаты вершин и активировать вычисления кнопкой «рассчитать».