Теорема Фалеса: история, доказательство, частные случаи

Одной из теорий планиметрии (евклидовой геометрии) была формула, которая описывала существование набора параллельных секущих к паре прямых отрезков. По одной из общепринятых версий принято, что такой пример и его доказательство был описан математиком Фалесом из Милета. Биография этого ученого окутана тайной и по сей день. Так, даже годы, когда он жил, были установлены крайне приблизительно, на основании описанных другими учеными природных явлений. Общепринятое определение свидетельствует, что по наблюдаемому (по некоторым источникам, предсказанному) Фалесом солнечному затмению 28 мая 585 года до н. э., периодом его жизни и научной деятельности мог быть временной отрезок около 640 – 625 года до н. э. – ок. 546 г. до н. э. Хотя Фалес не оставил никаких научных трактатов и сочинений, многие философы древности сходились на том, что именно он был одним из Семи Мудрецов, которые стояли у истоков древнегреческой, а во многом – и общемировой науки. Например, Цицерон был уверен, что наука в Греции началась от исследований Фалеса. Будучи человеком знатного рода, он посетил множество разных стран. В частности, жил в Египте, изучая геометрию и древнеегипетские пирамиды. Поскольку до Фалеса в Древней Греции геометрии как отдельной науки не было, по общепринятому убеждению, именно его стали считать ее основоположником в этой стране. Если говорить простыми словами, то Фалесу приписывается множество открытий и доказательств, например о свойствах углов при основании равнобедренного треугольника, а также и теорема Фалеса формулировка которой будет приведена ниже.

Теорема Фалеса простыми словами и обратная ей

В современной школе время, когда изучается теорема Фалеса 8 класс, когда на уроках геометрии ученики узнают ее формулировку. Звучит теорема так: «если на одной из двух прямых отложить равные отрезки и через концы этих отрезков начертить параллельные прямые, то они при пересечении второй прямой отсекут на ней равные отрезки».

Выполняя задания, где используется теорема Фалеса задачи и чертежи, важно помнить, что абсолютно не играет роли то обстоятельство (условие), являются ли первоначальные две прямые взаимно пересекающимися. То есть, она будет верна и в отношении пересекающихся и в отношении параллельных прямых без исключения. Из этого определения следует также то, что данная теорема представляет собой частный случай и теоремы о пропорциональности отрезков.

К стандартному варианту существует дополнительный, так называемая обратная теорема Фалеса. Она гласит, что если прямые пересекают две другие пересекающиеся прямые и отсекают на них равные (пропорциональные) отрезки, начиная от вершины, то эти секущиеся прямые будут параллельны друг другу. В буквенной интерпретации можно записать это таким образом:

СВ1 = В1В2 = В2В3;
СА1 = А1А2 = А2А3.

Но при этом важным условием является то, чтобы эти равные отрезки на исследуемых прямых начинались именно из вершины.

Теорема Фалеса доказательство, следствие и отдельные случаи

Пусть дан угол СОD. И параллельные прямые: А1В1 параллельна А2В2; А2В2 параллельна А3В3.

Точки А принадлежат прямой ОС. Точки В, соответственно, OD. А1А2 = А2А3. Доказать, В1В2 = В2В3.

Доказательство:

Проведем прямую EF через В3, таким образом, она будет равна А1А3.
Рассмотрим получившийся четырехугольник A1FB2A2. В нем A1F = А2В2 по условию, А1А2 = FB2 по выполненному построению. Следовательно, рассматриваемый четырехугольник – это параллелограмм.
По свойству параллелограмма А1А2 = FB2.
По этой же схеме доказывается равенство других отрезков через свойства противолежащих параллелограмма.
После этого рассматриваем получившиеся при пересечении треугольники: B2B1F, B2B3E. В них угол B1B2F будет равен углу В3В2Е как вертикальные, а В2FB1 = углу В2ЕВ3 как накрест лежащие.
Рассматриваемые треугольники получаются равными по второму признаку (сторона и 2 прилежащих угла).
Из равенства треугольников следует равенство сторон В1В2 = В2В3. Теорема доказана.

Помимо общей формулы, в математике существует обобщенная теорема Фалеса, которая также известна под названием теоремы о пропорциональных отрезках. Она гласит, что на сторонах угла параллельные прямые будут отсекать пропорциональные отрезки. Переиначивая эту формулировку, можно также сказать, что при пересечении угла сразу несколькими параллельными прямыми, которые даже могут лежать на разных расстояниях друг от друга, получаются отрезки, в отношении которых соблюдается следующее свойство: отношению двух отрезков на одной стороне угла будет равным отношению соответствующих им отрезков пересекающей угол прямой на второй стороне этого угла. Для обратной обобщенной теоремы важным уточнением является то, что отрезки должны начинаться от вершины.