Теорема косинусов и её доказательство

Само определение теоремы косинусов было известно человечеству еще с древности. Например, в Древней Греции ее формулировали через рассматриваемые площади фигур. Говоря простыми словами, древнегреческие математики рассматривали квадрат длины стороны треугольника через площадь построенного на этой стороне квадрата. Поскольку последнюю вычислить проще ввиду равенства всех сторон фигуры, получался удобный для расчета пример, из которого впоследствии и находили искомое. Сама же теорема в понятии ученых древности была поделена на отдельные утверждения. Каждый из них соответствовал значению угла альфа – отдельно для тупоугольных, остро- и прямоугольных треугольников. Так, в математике Евклида, в его труде «Начала», написанном в 3 веке до нашей эры, формула теоремы косинусов для тупоугольного треугольника имела вид: СВ2 = АВ2 + АС2 + 2 АВ*АН, в которой АН – это длина проекции на прямую, содержащую АВ стороны АС. Для остроугольного треугольника использовалась аналогичная расчетная формула. Но в ней плюс перед удвоенным произведением элементов менялся, соответственно, на минус. Сегодня такие формульные соотношения применяются нечасто. В современной математике существуют свои понятия и возможности, позволяющие вычислить искомые величины через теорему косинусов.

Время, когда в школе изучается теорема косинусов 9 класс, когда большинство базовых геометрических понятий евклидовой математики уже изучено и можно приступать к разбору соотношений, взаимосвязей и взаимозависимостей между ними.

Где применяется и как звучит теорема косинусов?

Если исследуется математическая теорема косинусов формулировка ее выглядит так: в любом исследуемом треугольнике квадрат стороны будет равен результату сложения квадратов других двух сторон за вычетом умноженного на 2 произведения длин этих сторон на косинус угла, лежащего между ними.

В формульном виде обычно фиксируется таким образом: a2 = b2 + c2 - 2bc cos α, в которой a, b, c, соответственно, стороны треугольника, а α – это угол, распложенный между этими сторонами.

С помощью знания теоремы косинусов на практике можно осуществить:

нахождение косинуса любого из трех существующих углов рассматриваемого треугольника по заданным длинам трех его сторон;
вычисление длины неизвестной стороны треугольника, когда даны длины двух других сторон. И известна градусная мера угла, который лежит между ними;
расчет косинуса неизвестного угла в том случае, когда даны длины каждой стороны исследуемого треугольника.

Интересная особенность – теорема косинусов в прямоугольном треугольнике после всех сокращений, приведения подобных и упрощения приобретает конечный вид классической теоремы Пифагора. То есть, квадрат гипотенузы в нем будет равен сумме квадратов его катетов. Исходя из этого, можно сделать вывод, что теорема косинусов обобщает известную ученикам еще с 8-го класса теорему Пифагора, и может быть использована не только для прямоугольного, но и для любого произвольного треугольника.

Теорема косинусов: доказательство и его разновидности

У этой теоремы не самое простое доказательство по сравнению с аналогичными из того же раздела математики. Например, в сравнении с доказательством теоремы синусов, которое существенно проще. Однако если отойти от классических схем и воспользоваться не самыми распространенными вариантами, можно найти способы достаточно простого и понятного доказательства теоремы косинусов. Всего из общеизвестных и чаще других применяемых на практике можно выделить следующие варианты:

Через систему координат. Именно эта методика подробно рассмотрена и предлагается к изучению школьникам, занимающимся по учебному пособию по геометрии Л. С. Атанасяна.
Второй классический способ – через так называемую «связку» теоремы Пифагора и соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника. Этот метод тоже задействуется в качестве основных объяснений для школьников. Но он тоже не самый короткий и удобный, предполагающий к рассмотрению трех типов треугольников.
Через окружность.

Это более короткий и, по мнению многих школьников, более понятный способ. Для доказательства через окружность рассматривается произвольный треугольник, одна из вершин которого, которая находится при большей стороне, является центром окружности, радиус которой, соответственно, будет равен длине этой большой стороны. Через центр окружности надо провести еще один диаметр, а через одну из коротких сторон достроить прямоугольный треугольник. В нем надо найти катет, прилежащий к углу альфа. Соответственно, диаметр и катет пересекутся в точке А, тогда по свойству пересекающихся хорд: a2 = b2 + c2 - 2bc cos α. Таким образом, теорема будет доказана.