Теорема синусов, доказательство и следствия

У известной школьникам-старшеклассникам теоремы синусов богатая и интересная история. Одно из древнейших ее доказательств, которое описывается как определение на плоскости, дано в «Трактате о полном четырехстороннике». Этот математический труд принадлежит перу персидского ученого, механика, астронома и математика Н. ад-Дина Ат-Туси, датированном 13 веком нашей эры. Есть и еще более ранние труды в этом направлении. Так, пример доказательства теоремы синусов математиками средневекового Востока 10 века является формула для сферического треугольника, которая сейчас является одним из частных случаев данной теоремы. В развитие темы западно-арабским законоведом, математиком и астрономом Ал-Джайяни приводилось общее доказательство на сфере теоремы косинусов в его труде «Книга о неизвестных дугах сферы».

Сегодня это одна из основных теорем в геометрии, позволяющая оперировать многочисленными величинами при расчетах и анализировании свойств фигур и возможности действий с ними. В школе время, когда изучается теорема синусов 9 класс, и поскольку задания, связанные с этой теоремой, есть в составе экзаменационных вопросов, школьники стараются внимательно и вдумчиво изучить, и понять ее.

Как звучит теорема синусов, ее разновидности и особенности применения

Если формулировать данную теорему простыми словами, то она будет звучать так: стороны треугольника являются пропорциональными синусам противолежащих им углов. Таким образом, с ее помощью можно установить непосредственные связи между противолежащими углами и сторонами треугольников. И на основании этого утверждения находить те или иные геометрические величины. Таким образом, теорема синусов констатирует, что для любого треугольника со следующими данными:

Сторона “b”, противолежащая углу бетта.
Сторона “c”, противолежащая углу гамма.
Сторона “a”, противолежащая углу альфа.
Угол гамма, между сторонами “a” и “b”.
Угол альфа, между сторонами “с” и “b”.
Угол бетта между сторонами «а» и «с»,

будет справедливо формульное равенство: a/sinАльфа = b/sinБетта = c/sin Гамма.

Зная теорему синусов, можно найти и вычислить:

углы треугольников, если в исходных данных присутствуют один прилежащий угол и две стороны;
длины сторон треугольников, когда дана одна сторона и два угла треугольника.

То есть, она устанавливает зависимости между градусной мерой углов геометрической фигуры и длинами ее сторон.

Приведенную выше формулу можно успешно применять для вычисления любого угла или любой стороны, если известны другие необходимые для расчетов данные. Теорема синусов существуют в двух вариантах. Первый – это простой или обычный. Он устанавливает соотношения между синусами углов треугольника и длинами его сторон. Второй вариант – расширенная теорема синусов, который определяет связь соотношения сторон треугольника с радиусом окружности, описанной вокруг него. Ее формулировка гласит: отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны как друг другу, так и умноженному на 2 радиусу окружности, которая описана вокруг данного треугольника. Также из этого соотношения следует, что отношения длин сторон треугольника к синусам противоположных углов является постоянной величиной, равной диаметру окружности, в которую вписан исследуемый треугольник (описанной вокруг него).

Удобная для проведения расчетов теорема синусов доказательство которой заключается в применении формулы площади треугольника, широко используется в математике. Чтобы ее доказать, надо выразить через синус угла треугольника его площадь. Затем – получить из формульного выражения два расчетных значения, сократить их на переменную, присутствующую в обеих частях уравнения. И – объединить полученные итоговые соотношения, что и будет формулой искомой доказываемой теоремы. Таким образом, теорема синусов будет доказана.

Теорема синусов следствие из неё

В качестве практического применения данной теоремы подойдет не только ее прямое формульное соотношение, но и следствия, которые могут быть выведены из нее. Например, из нее следует, что в геометрической фигуре напротив большего по градусной мере угла лежит сторона большей длины. И наоборот, напротив меньшей по длине стороны лежит меньший по градусной мере угол.

Также к следствиям из рассматриваемой выше теоремы является утверждение, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ему угла равно удвоенному радиусу окружности, в которую вписан данный треугольник. Это следствие из рассмотренной теоремы синусов будет справедливо в отношении всех треугольников, независимо от величины их углов: для остроугольных, тупоугольных и для прямоугольного варианта. В последнем случае расчет упрощается.