Взаимно простые числа - понятие и свойства

Есть числа, которые в математике носят название простых и есть те, которые называют взаимно простыми. Специальное правило позволяет отличить одно от другого. Поняв и запомнив его, можно будет им пользоваться при проведении оценки чисел на предмет взаимной простоты. Начальные понятия простых чисел изучает курс математики за 5 класс школы. А уже в шестом вводятся более расширенные, развернутые схемы поиска и сравнения таких чисел. Таким образом, 6 класс продолжает развитие тематики в данном математическом направлении.

Чтобы понять и уяснить суть этого математического явления, изучить, что такое простые числа в общем. Это такое число, которое делится исключительно на само себя и на единицу и не имеет других делителей. Наглядным примером является, например, 11. Его можно поделить только на 11 и на 1. В целом в математике таких чисел немного, для удобства их определения существуют специальные таблицы целых чисел, с которыми можно свериться и уточнить, принадлежит ли искомое к этой математической категории. Самое важное общее свойство и простых и взаимно простых чисел заключается в том, что они делятся нацело, то есть, без остатка. Но простые и взаимно простые числа – это не одно и то же понятие. Так:

• простые имеют только два делителя – само число и 1;
• взаимно простые – не имеют общих делителей друг по отношению к другу. Тогда как делители они могут иметь, то есть, простыми в математическом понимании могут не быть.

Для иллюстрации этого объяснения можно рассмотреть числа 10 и 9. По отношению друг к другу они ка раз будут взаимно простыми. Так как у 9 делители 9,1 и 3. То есть, кроме 1 и 9, есть еще и 3, число 9 таким образом не является простым. У 10 делители 1, 2, 5, 10. То есть, помимо 1 и 10 присутствуют делители 2 и 5, следовательно, 10 тоже не простое число. Однако общих делителей у 10 и 9 нет. Можно сделать вывод, что 9 и 10 – взаимно простые числа.

Что такое взаимно простые числа 5 класс и базовые понятия явления

Как уже было разъяснено в примере выше, что такое взаимно простые числа в математике – это два или несколько чисел, которые не имеют общего делителя, кроме единицы. Такое пояснение дается в рамках математического курса для пятиклассников. По мере углубления математических знаний школьный багаж будет обогащаться новыми методиками и правилами определения таких показателей. Такой подход актуален, так как для больших чисел искать делители достаточно непросто. Пятиклассникам же, для понимания общей сути явления, достаточно нескольких простых способов и технологий. К ним, в частности, относятся алгоритм Евклида, для которого надо отыскать НОД исходных чисел и сравнить их. И – оценка признака делимости на произведение взаимно простых чисел. Для ее проведения следует разделить число на каждое из взаимно простых. Если оно поделится нацело, то поделится и на и х произведение.

Поможет более качественно понять, что такое взаимно простые числа пример алгоритма Евклида, приведенный выше и свойства этих чисел. Они заключаются в:

1. НОД будет равен единице, когда два числа взаимно просты.
2. Признак делимости – когда число будет делиться на одно из исходных взаимно простых, оно не будет делиться на другое (другие).
3. Взаимно простые числа также взаимно просты с их суммой.
4. Помимо суммы взаимно простые числа взаимно просты с их разностью.
5. Признак кратности гласит, что любые кратные таких исходных чисел должны быть тоже взаимно простыми.

В шестом классе технологии расчета и поисков еще несколько усложняются. При ответе на вопрос что такое взаимно простые числа 6 класс, уже обращается внимание на дополнительные алгоритмы определения. Но общий принцип, изученный еще пятиклассниками, сохраняется без изменения. Каждое из исследуемых чисел нужно разложить на множители согласно правилам математики и искать среди полученных результатов общие у сравниваемых чисел простые множители. Если по итогу они будут найдены, то шестиклассники смогут сделать вывод, что числа в условии задания не являются взаимно простыми друг по отношению к другу. Если же их нет, то, наоборот, являются. Другим популярным алгоритмом решения данного задания является поочередное деление каждого из чисел на простые множители. Такой метод проще в исполнении, но он не подходит, когда исследуемые величины слишком большие, потому что проверка в этом случае может затянуться по времени. Отличным помощником по этой и другим темам станет онлайн справочник геометрия 9 класс Атанасян.

Что такое не взаимно простые числа – особый случай

Поскольку математика рассматривает разные явления, законы и процессы, то следует описать и существование не взаимно простых чисел. Это такие целые числа, которые имеют один общий делитель. Он положительный и обязательно отличный от числа 1 (единицы). Пример – 13 и 25 взаимно просты, а 10 и 25 не взаимно просты, потому что помимо единицы имеют общий делитель 5.