160. При каком значении b выражение \(\frac{81}{(0.5b+9)^2 + (0.5b-9)^2}\) принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

Выражение принимает наибольшее значение, когда знаменатель минимален. Пусть \(x = 0.5b+9\) и \(y = 0.5b-9\), тогда \(x^2 + y^2\) минимально, когда \(x = y\), то есть \(0.5b+9 = 0.5b-9\). При этом \(b = 0\), подставив \(b=0\), получаем значение \(\frac{81}{162} = 0.5\).