Докажите, что если числа a, b, c и d составляют геометрическую прогрессию, то равенство (a-d)^2=(a-c)^2+(b-c)^2+(b-d)^2 является тожеством.

Ответ:

\[a;b;c;d - геометрическая\ \]

\[прогрессия.\]

\[То\ есть:\]

\[b^{2} = ac;\ \ c^{2} = bd.\]

\[(a - d)^{2} =\]

\[= (a - c)^{2} + (b - c)^{2} + (b - d)^{2}\]

\[2b^{2} + 2c^{2} =\]

\[= 2ac + 2bc + 2bd - 2ad\]

\[Заменим\ bc = ad:\]

\[2b^{2} + 2c^{2} = 2 \cdot (ac + bd)\]

\[2bc - 2ad = 0;тогда\]

\[2b^{2} + 2c^{2} =\]

\[= 2 \cdot (ac + bd) + 2bc - 2ad.\]

\[Оба\ равенства\ эквиваленты.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]