Докажите, что: (x+1)(y+2)(z+8)>=32*корень из (xyz), если x>=0, y>=0, z>=0.

\[(x + 1)(y + 2)(z + 8) \geq 32\sqrt{\text{xyz}};\ \ \ \]

\[x \geq 0,\ y \geq 0,\ z \geq 0\]

\[\frac{x + 1}{2} \cdot \frac{y + 2}{2} \cdot \frac{z + 8}{2} \geq 4\sqrt{\text{xyz}}\]

\[\sqrt{x} \cdot \sqrt{2y} \cdot \sqrt{8z} - 4\sqrt{\text{xyz}} \geq 0\]

\[\sqrt{16xyz} - 4\sqrt{\text{xyz}} \geq 0\]

\[\sqrt{16xyz} - \sqrt{16xyz} \geq 0 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow верно.\]