На какое количество друзей Маша может поровну разделить конфеты так, чтобы ни одной конфеты не осталось?

Решим задачу следующим образом: Изначально известно, что если Маша раздаст конфеты 6 друзьям, то останется 1 конфета. Тогда количество конфет можно обозначить как \( k \), и оно удовлетворяет уравнению: \[ k = 6n + 1, \] где \( n \) — количество конфет, которое получает каждый из 6 друзей. Если к друзьям присоединяется ещё один человек, то конфеты делятся на 7 человек. Тогда: \[ k = 7m, \] где \( m \) — количество конфет, которое получает каждый из 7 друзей. Из уравнений следует: \[ 6n + 1 = 7m. \] Преобразуем: \[ 7m - 6n = 1. \] Ищем такие \( m \) и \( n \), которые являются целыми числами. Методом подбора или решения сравнения находим, что \( m = 6 \), \( n = 5 \) и \( k = 6 \cdot 5 + 1 = 31 \). Теперь определим, на сколько друзей Маша может разделить 31 конфету поровну без остатка. Это делители числа 31. Так как 31 — простое число, то его делители — это 1 и 31. Следовательно, правильный ответ: 6 друзей.