На ребрах DM, DN и DF тетраэдра DMNF отмечены точки A, B, C так, что DA:AM = DC:CF = DB:BN. Докажите, что плоскость ABC параллельна плоскости MNF, и найдите площадь ΔABC, если площадь ΔMNF равна 125 см² и DA:AM = 1:4.

Решение: 1. Поскольку отношения деления отрезков одинаковы (DA:AM = DC:CF = DB:BN = 1:4), точки A, B, C делят ребра DM, DN и DF в одинаковом отношении. 2. Это означает, что точки A, B, C лежат в плоскости, параллельной плоскости MNF, так как они образуют треугольник, пропорциональный MNF, с коэффициентом подобия равным 1:5. 3. Площадь ΔABC будет равна площади ΔMNF, умноженной на квадрат коэффициента подобия: Площадь ΔABC = Площадь ΔMNF × (1/5)². Площадь ΔABC = 125 × (1/25) = 5 см². Ответ: Плоскость ABC параллельна плоскости MNF, площадь треугольника ABC равна 5 см².