Найдите площадь той части круга, которая расположена вне вписанного в него квадрата, правильного треугольника, правильного шестиугольника. Радиус круга R.

Ход решения: 1. Площадь круга равна \( S_{\text{круга}} = \pi R^2 \). 2. Площадь вписанного квадрата равна \( S_{\text{квадрата}} = \frac{1}{2} \cdot d^2 \), где \( d \) - диаметр круга, равный \( 2R \): \( S_{\text{квадрата}} = 2R^2 \). Площадь вне квадрата: \( S_{\text{вне квадрата}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{квадрата}} \). 3. Площадь вписанного правильного треугольника (равностороннего) равна \( S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \), где \( a \) - сторона треугольника. Для вписанного треугольника \( a = 2R \). Площадь вне треугольника: \( S_{\text{вне треугольника}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{треугольника}} \). 4. Площадь вписанного правильного шестиугольника равна \( S_{\text{шестиугольника}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot R^2 \). Площадь вне шестиугольника: \( S_{\text{вне шестиугольника}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{шестиугольника}} \). Подставляя все значения, находим площади вне указанных фигур.