Объясните правила написания букв Ы и И после Ц.

Правила таковы: после Ц пишем И в корнях слов (например, цикл, цифра), в словах на -ция (демонстрация, полиция). После Ц пишем Ы в суффиксах и окончаниях существительных и прилагательных (например, молодцы, краснолицый), за исключением слов из фразы: "Цыган на цыпочках цыкнул цыплёнку: 'Цыц!'". В этих словах и производных пишем И (цыганский, цыпочка).