Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение: Пусть гипотенуза равна \( c \), меньший катет \( a \), а больший катет \( b \). Так как один из углов треугольника равен \( 60° \), то \( \frac{a}{c} = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \), и \( \frac{b}{c} = \cos 60° = \frac{1}{2} \). Условие задачи даёт уравнение \( c + a = 26.4 \). Подставим \( a = \frac{\sqrt{3}}{2}c \): \[ c + \frac{\sqrt{3}}{2}c = 26.4. \] Приведём подобные: \[ c\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 26.4. \] Решим относительно \( c \): \[ c = \frac{26.4}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}. \] Упростим знаменатель: \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}. \] Подставим: \[ c = \frac{26.4 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}}. \] Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 2 - \sqrt{3} \): \[ c = \frac{26.4 \cdot 2 \cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}. \] В знаменателе раскроем скобки: \[ (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1. \] Таким образом: \[ c = 26.4 \cdot 2 \cdot (2 - \sqrt{3}). \] После упрощения и вычислений получаем: \[ c \approx 16.8. \] Ответ: гипотенуза треугольника равна \( 16.8 \) см.