По окружности двигаются в одном направлении две точки. Одна из них выполняет полный оборот на 3 с дольше другой, а время между их последовательными встречами равно 6с. За какое время каждая точка выполняет полный оборот?

\[Пусть\ скорости\ поездов\ \]

\[равны\ x\ \frac{км}{ч}\ и\ y\ \frac{км}{ч;}\ \]

\[t - время\ встречи.\]

\[2\ ч\ 24\ мин = 2\frac{2}{5}\ ч = \frac{12}{5}\ ч;\ \ \ \]

\[3\ ч\ 45\ мин = 3\frac{3}{4}\ ч = \frac{15}{4}\ ч.\]

\[Составляем\ систему\ \]

\[уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} (x + y)t = 270 \\ \frac{12}{5}x = ty\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{15}{4}y = tx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ |\ :\]

\[\frac{12x \cdot 4}{5 \cdot 15y} = \frac{\text{ty}}{\text{tx}}\]

\[\frac{y}{x} = \frac{16}{25} \cdot \frac{x}{y}\]

\[16x^{2} = 25y^{2};\ \ x > 0,\ \ y > 0\]

\[4x = 5y\]

\[x = \frac{5y}{4}\]

\[\left( \frac{5y}{4} + y \right)t = 270\]

\[\frac{9y}{4} \cdot t = 270\]

\[ty = \frac{270 \cdot 4}{9}\]

\[ty = 120.\]

\[tx + ty = 270\]

\[tx = 270 - ty\]

\[tx = 270 - 120 = 150\]

\[\frac{12}{5}x = 120\ \ \]

\[x = 50\ \left( \frac{км}{ч} \right) - скорость\ \]

\[первого\ поезда.\]

\[\frac{15}{4}y = 150\ \ \]

\[y = 40\ \left( \frac{км}{ч} \right) - скорость\ \]

\[второго\ поезда.\]

\[t = \frac{270}{50 + 40} = 3\ (ч) - они\ \]

\[встретились.\]

\[Ответ:50\frac{км}{ч};40\frac{км}{ч};\]

\[через\ 3\ часа.\]