Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 90. Если из этих чисел вычесть соответственно 7, 18 и 2, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите данные числа.

\[Пусть\ искомые\ числа\ \ a_{1};a_{2};a_{3};\]

\[где\ d - разность:\]

\[a_{1};\]

\[a_{2} = a_{1} + d;\]

\[a_{3} = a_{2} + d = a_{1} + 2d.\]

\[Получаем\ \]

\[(так\ как\ сумма\ равна\ 90):\]

\[a_{1} + a_{2} + a_{3} = 90\]

\[a_{1} + a_{1} + d + a_{1} + 2d = 90\]

\[3a_{1} + 3d = 90\ \ \ \ \ \ \ |\ :3\]

\[a_{1} + d = 30\]

\[a_{1} = 30 - d;\]

\[a_{2} = 30 - d + d = 30;\]

\[a_{3} = 30 - d + 2d = 30 + d.\]

\[Вычтем\ числа\ 7,\ \]

\[18\ и\ 2\ соответственно:\]

\[b_{1} = a_{1} - 7 = (30 - d) - 7 =\]

\[= 23 - d;\]

\[b_{2} = a_{12} - 18 = 30 - 18 = 12;\]

\[b_{3} = a_{3} - 2 = (30 + d) - 2 =\]

\[= 28 + d.\]

\[Получили\ геометрическую\ \]

\[прогрессию:\]

\[b_{2}^{2} = b_{1} \cdot b_{3}\]

\[12^{2} = (23 - d)(28 + d)\]

\[644 + 23d - 28d - d^{2} = 144\]

\[d^{2} + 5d - 500 = 0\]

\[d_{1} = - 25;\ \ d_{2} = 20.\]

\[При\ d = - 25:\]

\[a_{1} = 30 - ( - 25) = 55;\]

\[a_{2} = 30;\]

\[a_{3} = 30 - 25 = 5.\]

\[При\ d = 20:\]

\[a_{1} = 30 - 20 = 10;\]

\[a_{2} = 30;\]

\[a_{3} = 50.\]

\[Ответ:10,\ 30,\ 50\ или\ \ \ 55,\ 30,\ 5.\]