Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвёртого и второго членов равно 90. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

\[\left\{ \begin{matrix} b_{2} + b_{3} = 30 \\ b_{4} - b_{2} = 90 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ } \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} b_{1}q + b_{1}q^{2} = 30 \\ b_{1}q^{3} - b_{1}q = 90 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ } \right.\ \ \]

\[\left\{ \begin{matrix} b_{1}q(1 + q) = 30 \\ b_{1}q\left( q^{2} - 1 \right) = 90 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[q - 1 = 3\]

\[q = 4.\]

\[b_{1} = \frac{30}{q + q^{2}} = \frac{30}{4 + 16} = 1,5.\]

\[S_{5} = \frac{1,5 \cdot (1024 - 1)}{3} =\]

\[= 0,5 \cdot 1023 = 511,5.\]

\[Ответ:511,\ 5\]