Грамматическая основа предложения — это главные члены предложения: подлежащее и сказуемое. Рассмотрим каждое из предложений:
1) «Я жажду утолять привычку родною речью.» — указано "привык". Подлежащее — "Я", сказуемое — "жажду утолять". Ошибка.
2) «Хотел бы я узнать продолжение этой истории.» — указано "хотел бы узнать". Подлежащее — "я", сказуемое — "хотел бы узнать". Верно.
3) «Дорога была как аллея.» — указано "дорога была". Подлежащее — "Дорога", сказуемое — "была". Верно.
4) «Некоторое время он старался во всех деталях припомнить свой сон.» — указано "он старался припомнить". Подлежащее — "он", сказуемое — "старался припомнить". Верно.
Таким образом, ответ: 2, 3 или 4. Однако, наиболее корректное указание грамматической основы — в предложении 3.