В прямоугольном треугольнике $a$ и $b$ - катеты, $c$ - гипотенуза. Найдите $a$, если $c = \frac{8}{3}$ и $b = \frac{32}{15}$.

Решение: 1. Используем теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$. 2. Подставляем данные: $\left(\frac{8}{3}\right)^2 = a^2 + \left(\frac{32}{15}\right)^2$. 3. Вычисляем квадраты: $\frac{64}{9} = a^2 + \frac{1024}{225}$. 4. Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{64}{9} = \frac{1600}{225}$ (переводим 64/9 в 225-значный знаменатель). 5. Вычитаем $\frac{1024}{225}$ из $\frac{1600}{225}$: $\frac{1600-1024}{225} = \frac{576}{225}$. 6. Упрощаем дробь: $\frac{576}{225} = \frac{64}{25}$. 7. Берём корень: $a = \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{8}{5}$. Ответ: $\frac{8}{5}$.