10. Докажите, что если числа \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c} и \frac{1}{a+b} составляют арифметическую прогрессию, то числа a², b² и c² также составляют арифметическую прогрессию.

Для того, чтобы три числа составляли арифметическую прогрессию, разность между соседними членами должна быть постоянной. Таким образом, для \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c} и \frac{1}{a+b} должно выполняться: $$\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c}$$ Упростим это выражение: $$\frac{b+c - (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{a+c - (a+b)}{(a+b)(a+c)}$$ $$\frac{b-a}{(a+c)(b+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}$$ Разделим на (a+c): $$\frac{b-a}{b+c} = \frac{c-b}{a+b}$$ $$(b-a)(a+b) = (c-b)(b+c)$$ $$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$$ $$2b^2 = a^2 + c^2$$ Это равенство показывает, что разность между b² и a² такая же, как между c² и b², то есть a², b² и c² образуют арифметическую прогрессию. Ответ: Равенство a², b² и c² образуют арифметическую прогрессию доказано.