Дана функция $$y = 3x^5 - \frac{3}{x^3} + 10\sqrt[5]{x^2} + 14$$. Найдите производную данной функции.

Для нахождения производной данной функции, вспомним основные правила дифференцирования и применим их к каждому слагаемому. 1. Производная степенной функции: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$. 2. Производная константы равна нулю: $$(C)' = 0$$. 3. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных. 4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: $$(Cf(x))' = Cf'(x)$$. Прежде чем брать производную, преобразуем функцию, чтобы было удобнее дифференцировать: $$y = 3x^5 - 3x^{-3} + 10x^{\frac{2}{5}} + 14$$ Теперь найдем производную каждого слагаемого: * $$(3x^5)' = 3 \cdot 5x^{5-1} = 15x^4$$ * $$(-3x^{-3})' = -3 \cdot (-3)x^{-3-1} = 9x^{-4} = \frac{9}{x^4}$$ * $$(10x^{\frac{2}{5}})' = 10 \cdot \frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1} = 4x^{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{x^{\frac{3}{5}}} = \frac{4}{\sqrt[5]{x^3}}$$ * $$(14)' = 0$$ Соберем все вместе: $$y' = 15x^4 + \frac{9}{x^4} + \frac{4}{\sqrt[5]{x^3}} + 0$$ Таким образом, производная данной функции равна: $$y' = 15x^4 + \frac{9}{x^4} + \frac{4}{\sqrt[5]{x^3}}$$ Заполняем пропуски: $$y' = 15 \cdot x^4 + \frac{9}{x^4} + \frac{4}{\sqrt[5]{x^3}} + 0$$ Ответ: $$y' = 15x^4 + \frac{9}{x^4} + \frac{4}{\sqrt[5]{x^3}}$$