Диагонали трапеции равны 10 и 30, площадь трапеции равна (75\sqrt{3}). Найдите острый угол между диагоналями трапеции. Ответ дайте в градусах.

Давай решим эту задачу по шагам. 1. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними: Площадь трапеции можно выразить через её диагонали (d_1) и (d_2) и угол (\alpha) между ними как: \[S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)\] 2. Подстановка известных значений: Нам дано, что (d_1 = 10), (d_2 = 30) и (S = 75\sqrt{3}). Подставим эти значения в формулу: \[75\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 30 \cdot \sin(\alpha)\] \[75\sqrt{3} = 150 \cdot \sin(\alpha)\] 3. Нахождение синуса угла: Разделим обе части уравнения на 150: \[\sin(\alpha) = \frac{75\sqrt{3}}{150} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] 4. Определение угла: Теперь нужно найти угол (\alpha), синус которого равен (\frac{\sqrt{3}}{2}). Мы знаем, что: \[\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Таким образом, (\alpha = 60^\circ). 5. Учет тупого угла: Так как синус угла равен синусу смежного угла, то есть (\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)), нам нужно также проверить, не является ли смежный угол острым. Смежный угол равен: \[180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\] Этот угол тупой, поэтому острый угол между диагоналями трапеции равен (60^\circ). Ответ: 60