Докажите, что число 10^273 + 7 не делится на число 10^19 − 1.

Ответ:

\[Рассмотрим\ число\ 10^{273}\ + \ 7.\ \]

\[Число\ 10^{273}\ состоит\ из\ одной\ единицы\ и\ \]

\[273\ нулей.\ Тогда\ число\ 10^{273}\ + \ 7\ состоит\ \]

\[из\ одной\ единицы,\ 273\ нулей\ и\ цифры\ 7,\ \]

\(т.\ е.\ \) \(имеет\ вид\ 100\ldots 07.\ \)

\[Сумма\ цифр\ этого\ числа\ равна\ 8,\ и\ по\ \]

\[признаку\ делимости\ оно\ не\ делится\ на\ 9.\ \]

\[Число\ 10^{19}\ состоит\ из\ одной\ единицы\ и\ \]

\[19\ нулей.\ Поэтому\ число\ 10^{19}\ - \ 1\ состоит\ \]

\[из\ 19\ девяток\ (т.\ е.\ 99\ldots 9)\text{.\ }\]

\[Очевидно,\ что\ такое\ число\ делится\ на\ 9,\ \]

\[так\ как\ каждая\ цифра\ числа\ делится\ на\ 9.\ \]

\[Следовательно,\ число\ 10^{273}\ + \ 7\ не\ \]

\[делится\ на\ число\ 10^{19}\ - \ 1\ без\ остатка,\ \]

\[так\ как\ не\ имеет\ делителя\ 9.\]