Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S = (a^2 * sqrt(3)) / 4, где a — сторона треугольника.

Для доказательства формулы площади равностороннего треугольника начнем с общей формулы площади треугольника S = (1/2) * основание * высота. Пусть сторона треугольника равна a. Высота треугольника делит его на два прямоугольных треугольника с катетами высотой h и половиной стороны a/2, и гипотенузой a. По теореме Пифагора: a^2 = h^2 + (a/2)^2. Раскрываем скобки: a^2 = h^2 + a^2/4. Упрощаем: h^2 = 3a^2/4. Берем корень: h = sqrt(3) * a / 2. Подставляем в формулу площади: S = (1/2) * a * sqrt(3) * a / 2 = a^2 * sqrt(3) / 4. Формула доказана.