Если f(x) = 1 в области D, то интеграл $$\iint_D dxdy$$ равна _______ (чему? Вставьте слово) области D.

Если функция f(x) = 1 в области D, то двойной интеграл $$\iint_D dxdy$$ равен площади области D.

Давай разберемся, почему это так.

Двойной интеграл $$\iint_D f(x, y) , dxdy$$ можно интерпретировать как объем тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), снизу областью D на плоскости xy, а с боков – цилиндрической поверхностью, образованной границей области D.

В нашем случае, f(x, y) = 1. Это означает, что поверхность z = f(x, y) является плоскостью z = 1, параллельной плоскости xy и находящейся на высоте 1 над ней.

Тогда объем тела, ограниченного сверху плоскостью z = 1 и снизу областью D, будет равен просто площади области D, умноженной на высоту, которая равна 1. То есть, объем равен площади области D.

Таким образом, $$\iint_D 1 , dxdy = \text{Площадь области D}$$.

Ответ: площади