12. Какое наименьшее число рёбер придётся пройти дважды, чтобы обойти все рёбра куба?

Куб имеет 12 рёбер и 8 вершин, в каждой вершине сходится 3 ребра. Аналогично додекаэдру, все вершины имеют нечётную степень. Чтобы обойти все рёбра куба, нужно пройти каждое ребро хотя бы один раз. Для каждой вершины нужно добавить как минимум одно ребро, чтобы сделать число рёбер, сходящихся в этой вершине, чётным. В кубе 8 вершин с нечётным числом рёбер, поэтому нужно добавить минимум 4 ребра (каждое добавленное ребро соединяет две вершины). Таким образом, минимальное число рёбер, которое придётся пройти дважды, равно 4.