Найдите $AD$, если $BC = 27.4$, при условии, что $AC = OC = OD = BD$.

Дано: $AC = OC = OD = BD$, $BC = 27.4$. Найти $AD$. Решение: 1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$. У них $AC = OC = OD = BD$ (по условию). Значит, $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ - равнобедренные. 2. $\angle ACO = \angle OAC$ и $\angle BDO = \angle OBD$ как углы при основании равнобедренных треугольников. 3. $\angle COA = \angle DOB$ как вертикальные углы. 4. Значит, $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ по двум углам (первый признак подобия треугольников). 5. Из подобия треугольников следует, что $\angle ACO = \angle BDO$. Тогда $AC \parallel BD$, так как эти углы являются соответственными при секущей $CD$. 6. Рассмотрим трапецию $ACDB$. Так как $AC = BD$, то трапеция $ACDB$ равнобедренная. 7. В равнобедренной трапеции диагонали равны: $AD = BC$. 8. Следовательно, $AD = 27.4$. Ответ: $\boxed{27.4}$