Найдите стороны прямоугольного треугольника, если один из его катетов на 6 см меньше другого катета и на 12 см меньше гипотенузы.

\[Пусть\ x\ см - один\ катет;\ \]

\[(x + 6)\ см - другой\ катет;\]

\[(x + 12)\ см - гипотенуза.\]

\[Составим\ уравнение,\ \]

\[используя\ теорему\ Пифагора:\]

\[x^{2} + (x + 6)^{2} = (x + 12)^{2}\]

\[x^{2} + x^{2} + 12x + 36 =\]

\[= x^{2} + 24x + 144\]

\[x^{2} - 12x - 108 = 0\]

\[D = ( - 12)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 108) =\]

\[= 144 + 432 = 576\]

\[x_{1} = \frac{12 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 24}{2} =\]

\[= \frac{36}{2} = 18\ (см) - один\ катет.\]

\[x_{2} = \frac{12 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 24}{2} =\]

\[= - \frac{12}{2} = - 6\ (не\ подходит).\]

\[x + 6 = 18 + 6 = 24\ см\ (см) -\]

\[второй\ катет.\]

\[x + 12 = 18 + 12 = 30\ (см) -\]

\[гипотенуза.\]

\[Ответ:18\ см;\ \ 24\ см;\ \ 30\ см.\]