Найти угол \(\angle BAD\).

Дано: окружность с центром в точке O, \(\angle CDE = 60^{\circ}\), \(\angle AOE = 20^{\circ}\). Найти \(\angle BAD\). Решение: 1. Угол \(\angle AOE\) - центральный, опирается на дугу \(AE\). Значит, градусная мера дуги \(AE\) равна градусной мере центрального угла, то есть \(\stackrel{\smile}{AE} = \angle AOE = 20^{\circ}\). 2. Угол \(\angle CDE\) - вписанный, опирается на дугу \(CE\). Значит, градусная мера дуги \(CE\) равна удвоенной градусной мере вписанного угла, то есть \(\stackrel{\smile}{CE} = 2 \cdot \angle CDE = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}\). 3. Дуга \(AC\) равна разности дуг \(CE\) и \(AE\), то есть \(\stackrel{\smile}{AC} = \stackrel{\smile}{CE} - \stackrel{\smile}{AE} = 120^{\circ} - 20^{\circ} = 100^{\circ}\). 4. Угол \(\angle BAD\) - вписанный, опирается на дугу \(BD\). Следовательно, \(\angle BAD = \frac{1}{2} \cdot \stackrel{\smile}{BD}\). Так как \(\angle BOE = 20^{\circ}\), то \(\stackrel{\smile}{AE} = 20^{\circ}\). Дуга \(AE\) равна \(20^{\circ}\) согласно центральному углу \(\angle AOE\). Дуга \(CD\) равна \(60^{\circ}\). Так как \(\angle BOE = 20^{\circ}\), то \(\stackrel{\smile}{AE} = 20^{\circ}\). Дуга \(AE\) равна \(20^{\circ}\) согласно центральному углу \(\angle AOE\). Дуга \(CD\) равна \(120^{\circ}\). 5. Угол \(\angle BAD\) вписанный и опирается на дугу \(BD\), поэтому \(\angle BAD = \frac{1}{2} \stackrel{\smile}{BD}\). Так как \(\stackrel{\smile}{CE} = 120^{\circ}\), то \(\stackrel{\smile}{CD} = 120^{\circ}\). Тогда, \(\angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}\). Получается \(\angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ}\). 6. Угол \(\angle CAD\) опирается на дугу \(CD\), которая равна \(60^{\circ}\). Тогда \(\angle CAD = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}\). 7. \(\angle BAD = \frac{1}{2} \stackrel{\smile}{BD} = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ}\) 8. \(\angle BAD = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}\) Ответ: \(\angle BAD = 60^{\circ}\).