Давайте разберем ошибки в каждом предложении и исправим их:
* **Исходное предложение:** Помогая друг другу, в классе нет отстающих.
**Исправленное предложение:** Когда ученики помогают друг другу, в классе нет отстающих. _(Деепричастный оборот должен относиться к подлежащему, выраженному в основной части предложения.)_
* **Исходное предложение:** Ежедневно тренируясь, нас не покидала вера в победу.
**Исправленное предложение:** Когда мы ежедневно тренировались, нас не покидала вера в победу. _(Деепричастный оборот должен относиться к подлежащему, выраженному в основной части предложения.)_
* **Исходное предложение:** Выходя из помещения, выключается свет.
**Исправленное предложение:** Когда я выхожу из помещения, я выключаю свет. _(Действие деепричастия и основное действие должны выполняться одним лицом.)_
* **Исходное предложение:** Приехав в школу, писателя приветствовали школьники.
**Исправленное предложение:** Когда писатель приехал в школу, его приветствовали школьники. _(Действие деепричастия и основное действие должны выполняться одним лицом.)_
* **Исходное предложение:** Парень, вернувшись из леса, был уставшим.
**Исправленное предложение:** Парень, вернувшийся из леса, был уставшим. _(В данном случае можно использовать причастный оборот.)_ Либо: Вернувшись из леса, парень был уставшим.
* **Исходное предложение:** Эней, попросив Нептуна, предлагает ему взятку.
**Исправленное предложение:** Эней, попросив Нептуна, предложил ему взятку. _(Предложения является грамматически верным, но можно улучшить стилистику.)_ Либо: Эней, когда попросил Нептуна, предложил ему взятку.