Построй график функции $y + \sqrt{x - 2} = \sqrt{2\sqrt{x^2 - 4} + 2x}$ и укажи наименьшее значение функции.

Для начала упростим выражение. Выразим $y$: $y = \sqrt{2\sqrt{x^2 - 4} + 2x} - \sqrt{x - 2}$ Найдем область определения функции. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: 1. $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$ 2. $x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) \ge 0 \Rightarrow x \le -2$ или $x \ge 2$ 3. $2\sqrt{x^2 - 4} + 2x \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 4} \ge -x$ * Если $x < 0$, то неравенство верно, т.к. корень всегда неотрицателен. Но у нас $x \ge 2$, поэтому этот случай не рассматриваем. * Если $x \ge 0$, то возводим в квадрат обе части: $x^2 - 4 \ge x^2 \Rightarrow -4 \ge 0$ - неверно. Значит, $x^2-4 \ge 0$, тогда $x \ge 2$. Возведём в квадрат обе части неравенства, получим: $x^2 - 4 \ge x^2$, что неверно. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $2\sqrt{x^2 - 4} + 2x \ge 0$ выполняется только при $x \ge 2$. Таким образом, область определения: $x \ge 2$. Теперь преобразуем выражение для $y$: $y = \sqrt{2\sqrt{x^2 - 4} + 2x} - \sqrt{x - 2} = \sqrt{2(\sqrt{(x - 2)(x + 2)} + x)} - \sqrt{x - 2}$ Домножим и разделим $\sqrt{x - 2}$ на $\sqrt{x - 2}$: $y = \sqrt{2\sqrt{x^2 - 4} + 2x} - \sqrt{x - 2} = \frac{(\sqrt{2\sqrt{x^2 - 4} + 2x} - \sqrt{x - 2})(\sqrt{2\sqrt{x^2 - 4} + 2x} + \sqrt{x - 2})}{\sqrt{2\sqrt{x^2 - 4} + 2x} + \sqrt{x - 2}} = \frac{2\sqrt{x^2 - 4} + 2x - (x - 2)}{\sqrt{2\sqrt{x^2 - 4} + 2x} + \sqrt{x - 2}} = \frac{2\sqrt{(x - 2)(x + 2)} + x + 2}{\sqrt{2\sqrt{x^2 - 4} + 2x} + \sqrt{x - 2}}$ Проверим значение функции в точке $x = 2$: $y(2) = \sqrt{2\sqrt{2^2 - 4} + 2 \cdot 2} - \sqrt{2 - 2} = \sqrt{2 \cdot 0 + 4} - \sqrt{0} = \sqrt{4} = 2$ Рассмотрим поведение функции при $x > 2$. Заметим, что при увеличении $x$, значение $y$ будет увеличиваться. Следовательно, наименьшее значение функции будет в точке $x = 2$. Таким образом, наименьшее значение функции равно 2. Ответ: 2