Производная функции $$f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$$ в точке $$(x_0, y_0)$$ по направлению биссектрисы первого координатного угла $$\frac{\partial f}{\partial a}$$ равна.

Для решения этой задачи, нужно найти частные производные функции $$f(x,y)$$ по $$x$$ и $$y$$, затем вычислить их в точке $$(x_0, y_0)$$, и, наконец, найти производную по направлению биссектрисы первого координатного угла. Биссектриса первого координатного угла имеет направляющий вектор $$\vec{a} = (1, 1)$$. Нормированный вектор будет $$\vec{e} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$$. Частные производные: $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$ Вычисляем значения частных производных в точке $$(x_0, y_0)$$: $$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \frac{y_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$$ Производная по направлению: $$\frac{\partial f}{\partial a} = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot e_x + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot e_y = \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{y_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{x_0}{\sqrt{2}\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} + \frac{y_0}{\sqrt{2}\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} = \frac{x_0\sqrt{2}}{2\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} + \frac{y_0\sqrt{2}}{2\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} = \frac{\sqrt{2}x_0}{2\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} + \frac{\sqrt{2}y_0}{2\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$$ Проверим предложенные ответы: Первый вариант:$$\frac{\sqrt{2}x_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} + \frac{\sqrt{2}y_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$$ Второй вариант:$$\frac{x_0}{2\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} + \frac{y_0}{2\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$$ Третий вариант:$$\frac{\sqrt{2}x_0}{2\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} - \frac{\sqrt{2}y_0}{2\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$$ Четвертый вариант:$$\frac{\sqrt{2}x_0}{2\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} + \frac{\sqrt{2}y_0}{2\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$$ Четвертый вариант совпадает с нашим решением. Ответ: $$\frac{\sqrt{2}x_0}{2\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} + \frac{\sqrt{2}y_0}{2\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$$