3. Разложите на множители. 1) a) $\frac{1}{2}a^2 - ab + \frac{1}{2}b^2$; б) $\frac{1}{9}a^3 + 3$; 2) a) $x^6 - y^6$; б) $y^5 - 2y^3 + y$; 3) a) $x^2(x-3) - 2x(x-3) + (x-3)$; б) $1 - c^2 - 4c(1-c^2) + 4c^2(1-c^2)$; 4) a) $a^3 + 8b^3 + a^2 - 2ab + 4b^2$; б) $a^3 + 8b^3 + a^2 + 4ab + 4b^2$

Давайте разложим на множители каждое из выражений, представленных на изображении. 1) a) $\frac{1}{2}a^2 - ab + \frac{1}{2}b^2$ $\frac{1}{2}(a^2 - 2ab + b^2) = \frac{1}{2}(a - b)^2$ б) $\frac{1}{9}a^3 + 3 = \frac{1}{9}(a^3 + 27) = \frac{1}{9}(a+3)(a^2 - 3a + 9)$ 2) a) $x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3) = (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2)$ б) $y^5 - 2y^3 + y = y(y^4 - 2y^2 + 1) = y(y^2 - 1)^2 = y(y - 1)^2(y + 1)^2$ 3) a) $x^2(x-3) - 2x(x-3) + (x-3) = (x-3)(x^2 - 2x + 1) = (x-3)(x-1)^2$ б) $1 - c^2 - 4c(1-c^2) + 4c^2(1-c^2) = (1-c^2) - 4c(1-c^2) + 4c^2(1-c^2) = (1-c^2)(1 - 4c + 4c^2) = (1-c^2)(1-2c)^2 = (1-c)(1+c)(1-2c)^2$ 4) a) $a^3 + 8b^3 + a^2 - 2ab + 4b^2 = (a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) + (a^2 - 2ab + 4b^2) = (a+2b+1)(a^2 - 2ab + 4b^2)$ б) $a^3 + 8b^3 + a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) + a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) + (a+2b)^2 = (a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2 + a + 2b) = (a+2b)(a^2 - ab + 4b^2 + a + 2b)$ **Разъяснение для учеников:** 1. **Разложение на множители** - это представление выражения в виде произведения нескольких выражений (множителей). Это полезно для упрощения выражений, решения уравнений и анализа функций. 2. **Общий множитель**: Если у нескольких членов выражения есть общий множитель, его можно вынести за скобки, упростив выражение. 3. **Формулы сокращенного умножения**: Важно знать и уметь применять формулы сокращенного умножения, такие как квадрат суммы/разности, разность квадратов, сумма/разность кубов и т.д. 4. **Группировка**: Иногда члены выражения можно сгруппировать так, чтобы выявить общие множители. 5. **Проверка**: После разложения на множители полезно раскрыть скобки и проверить, получили ли вы исходное выражение. Если нет, значит, где-то допущена ошибка.