Решите уравнение $2\cos^2 x - 3\sqrt{2} \cos x + 2 = 0$. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-8; -4]$.

Решение: 1. Решим уравнение $2\cos^2 x - 3\sqrt{2} \cos x + 2 = 0$. Пусть $t = \cos x$, тогда уравнение примет вид: $2t^2 - 3\sqrt{2}t + 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 - 16 = 2$. Найдем корни: $t_1 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$. $t_2 = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда: $\cos x = \sqrt{2}$ или $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $|cos x| \le 1$, то $\cos x = \sqrt{2}$ не имеет решений. $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, тогда $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2. Найдем корни, принадлежащие отрезку $[-8; -4]$. Рассмотрим $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$. $-8 \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le -4$. $-\frac{8}{2\pi} \le \frac{1}{8} + n \le -\frac{4}{2\pi}$. $-\frac{4}{\pi} \le \frac{1}{8} + n \le -\frac{2}{\pi}$. Используем приближение $\pi \approx 3.14$. $-\frac{4}{3.14} \le \frac{1}{8} + n \le -\frac{2}{3.14}$. $-1.27 \le 0.125 + n \le -0.64$. $-1.27 - 0.125 \le n \le -0.64 - 0.125$. $-1.395 \le n \le -0.765$. Тогда $n = -1$. $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}$. $-\frac{7\pi}{4} \approx -\frac{7 \cdot 3.14}{4} \approx -5.495$. Рассмотрим $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$. $-8 \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le -4$. $-\frac{8}{2\pi} \le -\frac{1}{8} + n \le -\frac{4}{2\pi}$. $-\frac{4}{\pi} \le -\frac{1}{8} + n \le -\frac{2}{\pi}$. $-1.27 \le -0.125 + n \le -0.64$. $-1.27 + 0.125 \le n \le -0.64 + 0.125$. $-1.145 \le n \le -0.515$. Тогда $n = -1$. $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi(-1) = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{-\pi - 8\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$. $-\frac{9\pi}{4} \approx -\frac{9 \cdot 3.14}{4} \approx -7.065$. Ответ: $-\frac{7\pi}{4}; -\frac{9\pi}{4}$.