Решите уравнение \(\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin 39^{\circ}}{2 \sin 43^{\circ} - \cos 39^{\circ}}\)

Для начала упростим правую часть уравнения. Заметим, что \(2 \sin 43^{\circ} = \sin 43^{\circ} + \sin 43^{\circ}\). Используем формулу \(\sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\) и \(\sin (a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\), чтобы преобразовать выражение. Введем вспомогательный угол \(\alpha\) такой, что \(\alpha = 90^{\circ} - 43^{\circ} = 47^{\circ}\). Тогда \(\sin 43^{\circ} = \cos 47^{\circ}\). Теперь перепишем правую часть уравнения: \(\frac{\sin 39^{\circ}}{2 \sin 43^{\circ} - \cos 39^{\circ}} = \frac{\sin 39^{\circ}}{\sin 43^{\circ} + \sin 43^{\circ} - \cos 39^{\circ}} = \frac{\sin 39^{\circ}}{\cos 47^{\circ} + \cos 47^{\circ} - \cos 39^{\circ}} \) Заметим, что \(\cos 47^{\circ} - \cos 39^{\circ} = -2 \sin \frac{47^{\circ} + 39^{\circ}}{2} \sin \frac{47^{\circ} - 39^{\circ}}{2} = -2 \sin 43^{\circ} \sin 4^{\circ}\). Тогда: \(\frac{\sin 39^{\circ}}{2 \sin 43^{\circ} - \cos 39^{\circ}} = \frac{\sin 39^{\circ}}{\sin 43^{\circ} + (\cos 47^{\circ} - \cos 39^{\circ})} = \frac{\sin 39^{\circ}}{\sin 43^{\circ} - 2 \sin 43^{\circ} \sin 4^{\circ}} = \frac{\sin 39^{\circ}}{\sin 43^{\circ} (1 - 2 \sin 4^{\circ})}\) Однако, проще заметить, что \(2 \sin 43^{\circ} - \cos 39^{\circ} = 2 \sin (45 - 2)^{\circ} - \cos (45 - 6)^{\circ}\), и при этом \(2 \sin 43^{\circ} - \cos 39^{\circ} = \sin 39^{\circ} \cot 43^{\circ}\) Заметим, что \(2 \sin 43^{\circ} - \cos 39^{\circ} \approx 2 * 0.682 - 0.777 \approx 1.364 - 0.777 = 0.587 \approx \sin 36^{\circ}\) $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ Тогда уравнение имеет вид: \(\tan x = \frac{\sin 39^{\circ}}{2 \sin 43^{\circ} - \cos 39^{\circ}} \) \(\frac{\sin 39^{\circ}}{2 \sin 43^{\circ} - \cos 39^{\circ}} \approx \frac{0.629}{2*0.682 - 0.777} \approx \frac{0.629}{0.587} \approx 1.071\) Тогда \(\tan x = 1.071\), значит, \(x \approx \arctan(1.071) \approx 47^{\circ}\). Общее решение: \(x = 47^{\circ} + 180^{\circ}k, k \in \mathbb{Z}\). Находим все решения в интервале \((0^{\circ}, 2025^{\circ})\): При \(k = 0\), \(x_1 = 47^{\circ}\). При \(k = 1\), \(x_2 = 47^{\circ} + 180^{\circ} = 227^{\circ}\). При \(k = 2\), \(x_3 = 47^{\circ} + 360^{\circ} = 407^{\circ}\). При \(k = 3\), \(x_4 = 47^{\circ} + 540^{\circ} = 587^{\circ}\). ... При \(k = 10\), \(x_{11} = 47^{\circ} + 1800^{\circ} = 1847^{\circ}\). При \(k = 11\), \(x_{12} = 47^{\circ} + 1980^{\circ} = 2027^{\circ}\) - не входит в интервал. Всего 11 решений. \(x_i = 47 + 180(i-1), i=1,2,...,11\). Сумма решений равна: \(\sum_{i=1}^{11} (47 + 180(i-1)) = 11*47 + 180 \sum_{i=1}^{11} (i-1) = 11*47 + 180 \sum_{i=0}^{10} i = 517 + 180 * \frac{10*11}{2} = 517 + 180 * 55 = 517 + 9900 = 10417\). Среднее арифметическое: \(\frac{10417}{11} = 947\). **Ответ: 947**