Решите уравнение, в котором слагаемые в сумме, записанной в левой части, составляют арифметическую прогрессию: 3+7+11+…+x=253.

\[3 + 7 + 11 + \ldots + x = 253\]

\[a_{1} = 3;\ \ a_{2} = 7;\ a_{n} = x;\ \ \]

\[S_{n} = 253;\ \ \ \]

\[d = a_{2} - a_{1} = 4.\]

\[S_{n} = \frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \cdot n\]

\[\frac{2 \cdot 3 + 4 \cdot (n - 1)}{2} \cdot n = 253\]

\[(6 + 4n - 4) \cdot n = 253 \cdot 2\]

\[(2 + 4n) \cdot n = 506\]

\[2n + 4n^{2} - 506 = 0\ \ \ \ \ |\ :2\]

\[2n^{2} + n - 253 = 0\]

\[D = 1 + 2024 = 2025 = 45^{2}\]

\[n_{1} = \frac{- 1 + 45}{4} = \frac{44}{4} = 11;\ \ \]

\[n_{2} = \frac{- 1 - 45}{4} =\]

\[= - \frac{46}{4} < 0\ (не\ подходит).\]

\[x = a_{11} = a_{1} + 10d = 3 + 40 =\]

\[= 43.\]

\[Ответ:x = 43.\]