Решите задачу из изображения: Площадь шестиугольника, вершинами которого являются середины сторон и две противолежащие вершины прямоугольника, равна 24 см². Найдите площадь этого прямоугольника.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы решим интересную геометрическую задачу. Давайте приступим к её решению. **Условие задачи:** Площадь шестиугольника, вершинами которого являются середины сторон и две противолежащие вершины прямоугольника, равна 24 см². Необходимо найти площадь этого прямоугольника. **Решение:** 1. **Визуализация:** Представим себе прямоугольник ABCD. Пусть M, N, P, Q – середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Тогда шестиугольник, о котором идёт речь в задаче, – это AMCPNQ. 2. **Обозначения:** Обозначим стороны прямоугольника как (a) и (b), где (a) – длина, а (b) – ширина прямоугольника. 3. **Площадь шестиугольника:** Шестиугольник AMCPNQ получается из прямоугольника ABCD вычитанием площадей двух прямоугольных треугольников: (\triangle{MBM}) и (\triangle{PDQ}). Каждый из этих треугольников имеет катеты длиной (\frac{a}{2}) и (\frac{b}{2}). 4. **Площадь одного треугольника:** Площадь одного треугольника (\triangle{MBM}) (или (\triangle{PDQ})) равна: \[ S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{8} \] 5. **Площадь двух треугольников:** Площадь двух треугольников равна: \[ 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot \frac{ab}{8} = \frac{ab}{4} \] 6. **Площадь прямоугольника:** Площадь прямоугольника ABCD равна: \[ S_{ABCD} = a \cdot b = ab \] 7. **Площадь шестиугольника через площадь прямоугольника:** Площадь шестиугольника AMCPNQ равна площади прямоугольника ABCD минус площадь двух треугольников: \[ S_{AMCPNQ} = S_{ABCD} - \frac{ab}{4} = ab - \frac{ab}{4} = \frac{3ab}{4} \] 8. **Составление уравнения:** По условию задачи, площадь шестиугольника равна 24 см²: \[ \frac{3ab}{4} = 24 \] 9. **Решение уравнения:** Решим уравнение, чтобы найти (ab): \[ ab = \frac{24 \cdot 4}{3} = \frac{96}{3} = 32 \] 10. **Вывод:** Так как (ab) является площадью прямоугольника ABCD, то площадь прямоугольника равна 32 см². **Ответ:** Площадь прямоугольника равна 32 см². Надеюсь, это объяснение было понятным и полезным! Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.