Решите задачу: Найдите наименьшее значение выражения z = x² + y² + 6x + 4y + 13, если x и y удовлетворяют системе: {3x + 2y ≥ 6, x² + y² - 4x - 2y ≤ 4.

Прежде всего, преобразуем выражение для z, выделив полные квадраты: \(z = x^2 + 6x + y^2 + 4y + 13 = (x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) + 13 - 9 - 4 = (x+3)^2 + (y+2)^2\) Далее, преобразуем второе неравенство системы: \(x^2 - 4x + y^2 - 2y \le 4\) Дополним до полных квадратов: \((x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) \le 4 + 4 + 1\) \((x - 2)^2 + (y - 1)^2 \le 9\) Это означает, что точка (x, y) лежит внутри или на границе круга с центром в точке (2, 1) и радиусом 3. Первое неравенство системы: \(3x + 2y \ge 6\), или \(y \ge -\frac{3}{2}x + 3\). Это полуплоскость выше прямой \(y = -\frac{3}{2}x + 3\). Нужно найти минимум \(z = (x+3)^2 + (y+2)^2\), то есть квадрата расстояния от точки (x, y) до точки (-3, -2). Ищем точку в области, заданной системой неравенств, которая ближе всего к точке (-3, -2). Центр круга (2, 1). Расстояние от центра круга до точки (-3, -2) равно: \(\sqrt{(2 - (-3))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\) Так как радиус круга равен 3, то минимальное расстояние от точки (-3, -2) до границы круга равно \(\sqrt{34} - 3\). Но нужно еще учитывать неравенство \(3x + 2y \ge 6\). Проверим, лежит ли центр круга (2, 1) в полуплоскости, заданной этим неравенством: \(3(2) + 2(1) = 6 + 2 = 8 \ge 6\) Значит, центр круга лежит в нужной полуплоскости. Теперь найдем точку на прямой \(3x + 2y = 6\), которая ближе всего к точке (-3, -2). Эта точка является проекцией точки (-3, -2) на прямую. Прямая, перпендикулярная \(3x + 2y = 6\) и проходящая через (-3, -2), имеет вид \(2x - 3y = c\). Подставляем (-3, -2): \(2(-3) - 3(-2) = -6 + 6 = 0\). Так что прямая \(2x - 3y = 0\), или \(y = \frac{2}{3}x\). Пересечение прямых: \(3x + 2(\frac{2}{3}x) = 6\) \(3x + \frac{4}{3}x = 6\) \(\frac{13}{3}x = 6\) \(x = \frac{18}{13}\) \(y = \frac{2}{3} \cdot \frac{18}{13} = \frac{12}{13}\) Точка \((\frac{18}{13}, \frac{12}{13})\) лежит на прямой \(3x + 2y = 6\). Теперь проверим, лежит ли эта точка внутри или на границе круга: \((\frac{18}{13} - 2)^2 + (\frac{12}{13} - 1)^2 = (\frac{18 - 26}{13})^2 + (\frac{12 - 13}{13})^2 = (\frac{-8}{13})^2 + (\frac{-1}{13})^2 = \frac{64 + 1}{169} = \frac{65}{169} = \frac{5}{13}\) Так как \(\frac{5}{13} \le 9\), точка лежит внутри круга. Теперь найдем значение z в этой точке: \(z = (\frac{18}{13} + 3)^2 + (\frac{12}{13} + 2)^2 = (\frac{18 + 39}{13})^2 + (\frac{12 + 26}{13})^2 = (\frac{57}{13})^2 + (\frac{38}{13})^2 = \frac{3249 + 1444}{169} = \frac{4693}{169}\) **Ответ: 4693/169**