Решите задачу, представленную на изображении. Найдите длину отрезка AH.

Давайте решим эту геометрическую задачу шаг за шагом. **Дано:** * Треугольник ABC * BM - медиана (AM = MC) * BH - высота (BH перпендикулярна AC) * AC = 2 * BC = BM **Найти:** AH **Решение:** 1. **Определение длины AM и MC:** Так как BM - медиана, то она делит сторону AC пополам. Следовательно, AM = MC = AC / 2 = 2 / 2 = 1. 2. **Рассмотрим треугольник BMC:** По условию BC = BM. Значит, треугольник BMC - равнобедренный с основанием MC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠BMC = ∠BCM. 3. **Обозначим углы:** Пусть ∠BCM = \(x\). Тогда и ∠BMC = \(x\). 4. **Смежные углы:** ∠AMB - смежный с ∠BMC. Значит, ∠AMB = 180° - ∠BMC = 180° - \(x\). 5. **Рассмотрим треугольник ABM:** Так как мы не знаем никаких других соотношений, связанных с этим треугольником напрямую, попробуем связать углы. В принципе, можно дальше решать через теорему косинусов, но есть и более изящное решение. 6. **Идея дополнительного построения:** На продолжении отрезка AH отметим точку D, такую что BH = HD. Тогда треугольники BHC и DHC будут равны по двум сторонам и углу между ними (HC - общая, BH = HD, ∠BHC = ∠DHC = 90°). Следовательно, BC = DC и ∠BCH = ∠DCH = x. 7. **Рассмотрим треугольник BCD:** Так как BC = DC, то треугольник BCD - равнобедренный. Угол ∠BCD = ∠BCH + ∠DCH = x + x = 2x. Следовательно, ∠CBD = ∠CDB = (180° - 2x)/2 = 90° - x. 8. **Докажем, что BM = MD:** Так как BC = BM по условию, и BC = DC по доказанному ранее, то BM = DC. Теперь рассмотрим треугольники ABM и MDC. У них: AM = MC, ∠AMB = ∠DMC (как вертикальные), и BM = DC (BM = BC = DC). Следовательно, треугольники ABM и CDM равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что AB = CD и ∠BAM = ∠DCM. 9. **Находим положение точки H:** Угол ∠BAC равен ∠BAM. А как было показано ранее, ∠CBD = 90° - x. Но ведь ∠C = x. Значит, ∠DBC + ∠C = 90°. 10. **Вывод:** Так как ∠BAM = ∠DCM = x, то треугольник ABM равнобедренный. Следовательно, AM = BM. Но AM = 1, значит, BM = 1. Но BC = BM, значит, BC = 1. 11. **Применим теорему Пифагора к треугольнику BHC:** BH² + HC² = BC² BH² + (AC - AH)² = 1² BH² + (2-AH)² = 1 12. **Рассмотрим треугольник ABH:** BH² + AH² = AB² 13. **Вспомним, что AM = BM = MC = 1:** Так как медиана BM равна половине стороны AC (BM = AM = MC), то треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом B. 14. **Следовательно, AH = AM = 1:** Таким образом, AH = 1. **Ответ:** \(\boxed{AH = 1}\) **Объяснение для школьника:** Представь себе треугольник. Медиана делит одну из сторон пополам. Высота - это линия, которая падает на сторону под прямым углом. В этой задаче нам даны некоторые соотношения длин сторон и нужно найти длину отрезка AH. Чтобы решить эту задачу, мы использовали свойства равнобедренных и прямоугольных треугольников, а также теорему Пифагора. Ключевым моментом было заметить, что треугольник ABC - прямоугольный, что позволило нам найти длину AH.