Решите задачу с ручками в ящике стола.

В ящике стола лежит 8 синих и 5 чёрных ручек. Нужно выбрать верные утверждения. 1) Среди любых 7 ручек обязательно будет хотя бы одна чёрная ручка. 2) Среди любых 7 ручек обязательно найдётся 2 синих ручки. 3) Если достать 6 ручек, то все они могут оказаться одного цвета. 4) Среди любых 9 ручек обязательно найдётся 2 чёрных ручки. Решение: 1) Проверим первое утверждение: "Среди любых 7 ручек обязательно будет хотя бы одна чёрная ручка". - Чтобы опровергнуть это утверждение, нужно представить ситуацию, когда среди 7 выбранных ручек нет ни одной чёрной. - Если мы выберем все 8 синих ручек, то среди них не будет чёрных. Но нам нужно выбрать только 7 ручек. - Если мы выбираем 7 синих ручек, то условие не выполняется. - Значит, утверждение неверно, так как можно выбрать 7 синих ручек, и среди них не будет чёрных. 2) Проверим второе утверждение: "Среди любых 7 ручек обязательно найдётся 2 синих ручки". - Чтобы опровергнуть это утверждение, нужно представить ситуацию, когда среди 7 выбранных ручек меньше 2 синих. - Наихудший случай – когда выбираются все 5 чёрных ручек и 2 синие ручки (5 + 2 = 7). - В этом случае среди 7 ручек будет ровно 2 синие. - Но если мы попытаемся выбрать больше чёрных, чем 5, то это невозможно, так как всего чёрных 5. - Следовательно, утверждение верно. 3) Проверим третье утверждение: "Если достать 6 ручек, то все они могут оказаться одного цвета". - Могут ли все 6 ручек быть синими? Да, в ящике 8 синих ручек. - Могут ли все 6 ручек быть чёрными? Нет, в ящике всего 5 чёрных ручек. - Следовательно, утверждение верно, так как все 6 ручек могут быть синими. 4) Проверим четвёртое утверждение: "Среди любых 9 ручек обязательно найдётся 2 чёрных ручки". - Чтобы опровергнуть это утверждение, нужно представить ситуацию, когда среди 9 выбранных ручек меньше 2 чёрных. - В ящике всего 5 чёрных и 8 синих ручек. Всего ручек 13. - Если мы выберем все 8 синих ручек, то нам останется выбрать еще 1 ручку. Эта ручка будет чёрной. - Таким образом, среди 9 ручек будет 1 чёрная и 8 синих или больше чёрных ручек. - Так как всего 5 черных ручек, то выберем 8 синих ручек, а затем 1 черную ручку. Значит, черных ручек точно будет больше одной. - Если мы выберем 7 синих и две черные, то условие выполняется. - В наихудшем случае мы можем взять все 8 синих ручек, и тогда останется взять только 1 черную. Значит в любом случае черных будет как минимум 1. Чтобы взять 9 ручек, мы можем взять максимум 5 черных и 4 синих, при этом общее количество ручек будет 9. - Т.е. взять 9 ручек, чтобы было меньше 2 чёрных невозможно. Но можно взять только 1 черную ручку (5 черных + 4 синих). - Утверждение неверно. Ответ: Верные утверждения: 2 и 3.