5. Тип 16 № 1332. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 40 см, а периметр треугольника ABM равен 32 см.

Давайте решим задачу. 1. Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех его сторон: \(P_{ABC} = AB + BC + AC\). 2. Периметр треугольника ABM равен сумме длин его сторон: \(P_{ABM} = AB + BM + AM\). 3. Известно, что \(P_{ABC} = 40\) см и \(P_{ABM} = 32\) см. 4. Также известно, что ABC - равнобедренный треугольник с основанием BC. Значит, \(AB = AC\). 5. AM - медиана, значит, она делит сторону BC пополам, то есть \(BM = MC = \frac{1}{2} BC\). Теперь выразим известные величины: * \(AB + BC + AC = 40\) * \(AB + BM + AM = 32\) Так как \(AB = AC\), первое уравнение можно переписать как: \(2AB + BC = 40\). Второе уравнение можно переписать с учетом того, что \(BM = \frac{1}{2} BC\): \(AB + \frac{1}{2} BC + AM = 32\). Решим систему уравнений: 1. Из первого уравнения выразим BC: \(BC = 40 - 2AB\). 2. Подставим это выражение во второе уравнение: \(AB + \frac{1}{2} (40 - 2AB) + AM = 32\). 3. Упростим: \(AB + 20 - AB + AM = 32\). 4. Получаем: \(AM = 32 - 20 = 12\). Таким образом, медиана AM равна 12 см. **Ответ:** 12