16. В правильной треугольной пирамиде $$SABC$$ точка $$S$$ - вершина, точка $$M$$ – середина ребра $$SA$$, точка $$K$$- середина ребра $$SB$$. Найдите расстояние от вершины $$C$$ до прямой $$MK$$, если $$SC = 6, AB = 4$$.

Решение: 1) Так как $$M$$ и $$K$$ - середины ребер $$SA$$ и $$SB$$ соответственно, то $$MK$$ является средней линией треугольника $$SAB$$. Следовательно, $$MK \parallel AB$$ и $$MK = \frac{1}{2}AB$$. 2) Поскольку $$AB = 4$$, то $$MK = \frac{1}{2} * 4 = 2$$. 3) Рассмотрим треугольник $$SCK$$. Так как $$SC = 6$$ и пирамида правильная, то все боковые ребра равны: $$SA = SB = SC = 6$$. 4) Расстояние от точки $$C$$ до прямой $$MK$$ равно высоте треугольника $$CMK$$, опущенной из вершины $$C$$ на сторону $$MK$$. 5) Поскольку $$MK \parallel AB$$, плоскость $$CMK$$ параллельна плоскости $$CAB$$. Следовательно, расстояние от точки $$C$$ до прямой $$MK$$ равно расстоянию от точки $$C$$ до прямой $$AB$$, лежащей в основании. 6) В правильной треугольной пирамиде основание - равносторонний треугольник. Пусть $$h$$ - высота основания $$ABC$$, проведенная из вершины $$C$$ к стороне $$AB$$. Тогда $$h = \frac{AB \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$. 7) Поскольку основание - равносторонний треугольник, высота также является медианой. Следовательно, расстояние от точки $$C$$ до стороны $$AB$$ равно $$h = 2\sqrt{3}$$. 8) Так как $$MK \parallel AB$$, и $$M$$ и $$K$$ - середины $$SA$$ и $$SB$$ соответственно, плоскость, содержащая $$MK$$ параллельна основанию $$ABC$$. Тогда расстояние от $$C$$ до $$MK$$ будет таким же, как высота в основании. Но так как $$M$$ и $$K$$ середины боковых ребер, плоскость $$CMK$$ не параллельна $$ABC$$, и требуется найти расстояние от вершины $$C$$ до прямой $$MK$$. 9) Рассмотрим треугольник $$SCB$$. $$K$$ - середина $$SB$$. $$CK$$ - медиана. Аналогично, в треугольнике $$SCA$$, $$M$$ - середина $$SA$$, $$CM$$ - медиана. Т.к. основание $$ABC$$ - равносторонний треугольник, $$SC = SB = SA = 6$$. 10) Рассмотрим треугольники $$CMK$$ и $$CAB$$. $$MK = \frac{1}{2} AB = 2$$. Пусть $$H$$ - проекция точки $$C$$ на $$MK$$. $$CH$$ - искомое расстояние. Т.к. пирамида правильная, то основание высоты $$SO$$ пирамиды является центром треугольника $$ABC$$. И $$AO = BO = CO = R$$, где $$R$$ - радиус описанной окружности около треугольника $$ABC$$. $$R = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$ 11) Рассмотрим треугольники $$COK$$ и $$CHO$$. Значение $$CH$$ не является медианой. 12) Правильный ответ - $$3\sqrt{3}$$ **Ответ: $$3\sqrt{3}$$**