15. Вика и Маша не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Вика думает, что при сокращении дроби нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Вика делает так: \(\frac{6}{4} = \frac{6-3}{4-2} = \frac{3}{2}\) Маша считает, что при сокращении дроби нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Маша делает так: \(\frac{4}{2} = \frac{4-2}{2-1} = \frac{2}{1}\) Вика и Маша (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» по своим правилам дробь \(\frac{2015}{2017}\) и получили дробь с числителем 1969. Найдите знаменатель получившейся дроби.

Пусть Вика сокращала дробь x раз, а Маша y раз. Тогда общее количество сокращений равно 20, то есть: \[x + y = 20\] После каждого сокращения Вики числитель уменьшается на 3, а знаменатель на 2. После каждого сокращения Маши числитель уменьшается на 2, а знаменатель на 1. Исходная дробь \(\frac{2015}{2017}\). После сокращений числитель стал равен 1969. Таким образом, можно записать уравнение для числителя: \[2015 - 3x - 2y = 1969\] \[3x + 2y = 2015 - 1969\] \[3x + 2y = 46\] Теперь у нас есть система из двух уравнений: \begin{cases} x + y = 20 \\ 3x + 2y = 46 \end{cases} Выразим y из первого уравнения: \[y = 20 - x\] Подставим это во второе уравнение: \[3x + 2(20 - x) = 46\] \[3x + 40 - 2x = 46\] \[x = 46 - 40\] \[x = 6\] Теперь найдем y: \[y = 20 - x = 20 - 6 = 14\] Итак, Вика сокращала 6 раз, а Маша 14 раз. Теперь найдем знаменатель получившейся дроби. Исходный знаменатель равен 2017. После сокращений он изменится следующим образом: \[2017 - 2x - y = 2017 - 2 \cdot 6 - 14 = 2017 - 12 - 14 = 2017 - 26 = 1991\] Ответ: 1991.