Вычислите интеграл \(\int \frac{\ln^2 x}{x} dx\)

Здравствуйте, ученики! Давайте разберем данный интеграл. Для решения этого интеграла мы воспользуемся методом замены переменной. Пусть \(u = \ln x\). Тогда производная \(\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}\), и, следовательно, \(du = \frac{dx}{x}\). Теперь мы можем переписать интеграл в терминах \(u\): \[ \int \frac{\ln^2 x}{x} dx = \int u^2 du \] Интеграл от \(u^2\) равен \(\frac{u^3}{3}\). Следовательно, \[ \int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C \] Теперь вернемся к переменной \(x\), подставив \(\ln x\) вместо \(u\): \[ \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\ln x)^3}{3} + C = \frac{1}{3} \ln^3 x + C \] Таким образом, интеграл равен: \[ \int \frac{\ln^2 x}{x} dx = \frac{1}{3} \ln^3 x + C \] **Ответ: \(\frac{1}{3} \ln^3 x + C\)**