Вычислите значение производной функции $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ в точке $x_0=2$.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим эту задачу вместе. Чтобы вычислить значение производной функции в указанной точке, нам нужно сначала найти производную функции, а затем подставить значение $x_0$ в полученную производную. **1. Находим производную функции $f(x)$:** Мы имеем функцию $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$. Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: Если $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, то $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$. В нашем случае, $u(x) = 2x+1$ и $v(x) = x-3$. Тогда $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 1$. Подставляем эти значения в формулу для производной частного: $f'(x) = \frac{2(x-3) - (2x+1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}$. **2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 2$:** Теперь нам нужно подставить $x_0 = 2$ в найденную производную $f'(x)$: $f'(2) = \frac{-7}{(2-3)^2} = \frac{-7}{(-1)^2} = \frac{-7}{1} = -7$. **Ответ: Значение производной функции $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ в точке $x_0 = 2$ равно -7.** **Пояснения для учеников:** * Производная функции показывает скорость изменения функции в определенной точке. * Правило дифференцирования частного позволяет находить производные функций, представленных в виде дроби. * Подстановка значения $x_0$ в производную дает значение скорости изменения функции в этой конкретной точке. Надеюсь, это объяснение было полезным! Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.