Задача 2. 17 Тип 16. Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC параллельна стороне AC. Найдите величину угла CAB, если ∠ABC = 32°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вспомнить свойства биссектрисы внешнего угла и параллельных прямых в треугольнике. 1. **Внешний угол треугольника** при вершине B равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть внешний угол при вершине B равен \(\angle CBE\). Тогда \(\angle CBE = \angle BAC + \angle BCA\). 2. **Биссектриса внешнего угла** делит этот угол пополам. Значит, если \(BD\) - биссектриса угла \(\angle CBE\), то \(\angle CBD = \angle DBE\). 3. **Параллельные прямые:** По условию, биссектриса \(BD\) параллельна стороне \(AC\). Значит, углы \(\angle CBD\) и \(\angle BCA\) являются соответственными углами при параллельных прямых \(BD\) и \(AC\) и секущей \(BC\), следовательно, они равны: \(\angle CBD = \angle BCA\). 4. Аналогично, углы \(\angle DBE\) и \(\angle BAC\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(BD\) и \(AC\) и секущей \(AE\), следовательно, они равны: \(\angle DBE = \angle BAC\). 5. Так как \(\angle CBD = \angle DBE\), то \(\angle BCA = \angle BAC\). Значит, треугольник \(ABC\) - равнобедренный, и \(AB = BC\). 6. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, \(\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180°\). * Мы знаем, что \(\angle ABC = 32°\) и \(\angle BAC = \angle BCA\). Пусть \(\angle BAC = x\), тогда \(\angle BCA = x\). * Подставляем в уравнение: \(x + x + 32° = 180°\) * \(2x = 180° - 32°\) * \(2x = 148°\) * \(x = 74°\) **Ответ:** \(\angle CAB = 74°\).